---

Step * 1 2 1 1 of Lemma Kan_sigma_filler_uniform


1. X : CubicalSet
2. A : {X ⊢ _(Kan)}
3. B : {X.Kan-type(A) ⊢ _(Kan)}
4. I : Cname List
5. alpha : X(I)
6. J : nameset(I) List
7. x : nameset(I)
8. i : ℕ2
9. bx : A-open-box(X;Σ Kan-type(A) Kan-type(B);I;alpha;J;x;i)
10. K : Cname List
11. f : name-morph(I;K)
12. ∀i:nameset(I). ((i ∈ J) ⇒ (↑isname(f i)))
13. ↑isname(f x)
14. map(f;J) ∈ nameset(K) List
15. f x ∈ nameset(K)
16. l_subset(Cname;map(f;J);K)
17. nameset([x / J]) ⊆r name-morph-domain(f;I)
18. (filler(x;i;sigma-box-fst(bx)) alpha f)
= filler(f x;i;A-open-box-image(X;Kan-type(A);I;K;f;alpha;sigma-box-fst(bx)))
∈ Kan-type(A)(f(alpha))
⊢ sigma-box-fst(A-open-box-image(X;Σ Kan-type(A) Kan-type(B);I;K;f;alpha;bx))
= A-open-box-image(X;Kan-type(A);I;K;f;alpha;sigma-box-fst(bx))
∈ (A-face(X;Kan-type(A);K;f(alpha)) List)
BY
{ DVar `bx' }

1
1. X : CubicalSet
2. A : {X ⊢ _(Kan)}
3. B : {X.Kan-type(A) ⊢ _(Kan)}
4. I : Cname List
5. alpha : X(I)
6. J : nameset(I) List
7. x : nameset(I)
8. i : ℕ2
9. bx : A-face(X;Σ Kan-type(A) Kan-type(B);I;alpha) List
10. A-adjacent-compatible(X;Σ Kan-type(A) Kan-type(B);I;alpha;bx)
∧ (¬(x ∈ J))
∧ l_subset(Cname;J;I)
∧ ((∀y:nameset(J). ∀c:ℕ2.  (∃f∈bx. A-face-name(f) = <y, c> ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
  ∧ (∃f∈bx. A-face-name(f) = <x, i> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
  ∧ (∀f∈bx.¬(A-face-name(f) = <x, 1 - i> ∈ (nameset(I) × ℕ2))))
∧ (∀f∈bx.(fst(f) ∈ [x / J]))
∧ (∀f1,f2∈bx.  ¬(A-face-name(f1) = A-face-name(f2) ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
11. K : Cname List
12. f : name-morph(I;K)
13. ∀i:nameset(I). ((i ∈ J) ⇒ (↑isname(f i)))
14. ↑isname(f x)
15. map(f;J) ∈ nameset(K) List
16. f x ∈ nameset(K)
17. l_subset(Cname;map(f;J);K)
18. nameset([x / J]) ⊆r name-morph-domain(f;I)
19. (filler(x;i;sigma-box-fst(bx)) alpha f)
= filler(f x;i;A-open-box-image(X;Kan-type(A);I;K;f;alpha;sigma-box-fst(bx)))
∈ Kan-type(A)(f(alpha))
⊢ sigma-box-fst(A-open-box-image(X;Σ Kan-type(A) Kan-type(B);I;K;f;alpha;bx))
= A-open-box-image(X;Kan-type(A);I;K;f;alpha;sigma-box-fst(bx))
∈ (A-face(X;Kan-type(A);K;f(alpha)) List)

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  CubicalSet
2.  A  :  \{X  \mvdash{}  \_(Kan)\}
3.  B  :  \{X.Kan-type(A)  \mvdash{}  \_(Kan)\}
4.  I  :  Cname  List
5.  alpha  :  X(I)
6.  J  :  nameset(I)  List
7.  x  :  nameset(I)
8.  i  :  \mBbbN{}2
9.  bx  :  A-open-box(X;\mSigma{}  Kan-type(A)  Kan-type(B);I;alpha;J;x;i)
10.  K  :  Cname  List
11.  f  :  name-morph(I;K)
12.  \mforall{}i:nameset(I).  ((i  \mmember{}  J)  {}\mRightarrow{}  (\muparrow{}isname(f  i)))
13.  \muparrow{}isname(f  x)
14.  map(f;J)  \mmember{}  nameset(K)  List
15.  f  x  \mmember{}  nameset(K)
16.  l\_subset(Cname;map(f;J);K)
17.  nameset([x  /  J])  \msubseteq{}r  name-morph-domain(f;I)
18.  (filler(x;i;sigma-box-fst(bx))  alpha  f)
=  filler(f  x;i;A-open-box-image(X;Kan-type(A);I;K;f;alpha;sigma-box-fst(bx)))
\mvdash{}  sigma-box-fst(A-open-box-image(X;\mSigma{}  Kan-type(A)  Kan-type(B);I;K;f;alpha;bx))
=  A-open-box-image(X;Kan-type(A);I;K;f;alpha;sigma-box-fst(bx))


By

---

Latex:
DVar  `bx'

---

Home Index