---

Step * 1 1 1 of Lemma csm-Kan-cubical-identity


1. X : CubicalSet
2. Delta : CubicalSet
3. s : Delta ⟶ X
4. A : {X ⊢ _(Kan)}
5. a : {X ⊢ _:Kan-type(A)}
6. b : {X ⊢ _:Kan-type(A)}
7. ((Id_Kan-type(A) a b))s = (Id_Kan-type((A)s) (a)s (b)s) ∈ {Delta ⊢ _}
8. I : Cname List
9. alpha : Delta(I)
10. J : nameset(I) List
11. x : nameset(I)
12. i : ℕ2
13. x1 : A-open-box(Delta;((Id_Kan-type(A) a b))s;I;alpha;J;x;i)
14. A-open-box(Delta;((Id_Kan-type(A) a b))s;I;alpha;J;x;i) ⊆r A-open-box(X;(Id_Kan-type(A) a b);I;(s)alpha;J;x;i)
15. Kan_id_filler(X;A;a;b) I (s)alpha J x i x1 ∈ I-path(X;Kan-type(A);a;b;I;(s)alpha)
⊢ (Kan_id_filler(X;A;a;b) I (s)alpha J x i x1)
= (Kan_id_filler(Delta;(A)s;(a)s;(b)s) I alpha J x i x1)
∈ I-path(X;Kan-type(A);a;b;I;(s)alpha)
BY
{ Assert ⌜Kan_id_filler(Delta;(A)s;(a)s;(b)s) I alpha J x i x1 ∈ I-path(X;Kan-type(A);a;b;I;(s)alpha)⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. X : CubicalSet
2. Delta : CubicalSet
3. s : Delta ⟶ X
4. A : {X ⊢ _(Kan)}
5. a : {X ⊢ _:Kan-type(A)}
6. b : {X ⊢ _:Kan-type(A)}
7. ((Id_Kan-type(A) a b))s = (Id_Kan-type((A)s) (a)s (b)s) ∈ {Delta ⊢ _}
8. I : Cname List
9. alpha : Delta(I)
10. J : nameset(I) List
11. x : nameset(I)
12. i : ℕ2
13. x1 : A-open-box(Delta;((Id_Kan-type(A) a b))s;I;alpha;J;x;i)
14. A-open-box(Delta;((Id_Kan-type(A) a b))s;I;alpha;J;x;i) ⊆r A-open-box(X;(Id_Kan-type(A) a b);I;(s)alpha;J;x;i)
15. Kan_id_filler(X;A;a;b) I (s)alpha J x i x1 ∈ I-path(X;Kan-type(A);a;b;I;(s)alpha)
⊢ Kan_id_filler(Delta;(A)s;(a)s;(b)s) I alpha J x i x1 ∈ I-path(X;Kan-type(A);a;b;I;(s)alpha)

2
1. X : CubicalSet
2. Delta : CubicalSet
3. s : Delta ⟶ X
4. A : {X ⊢ _(Kan)}
5. a : {X ⊢ _:Kan-type(A)}
6. b : {X ⊢ _:Kan-type(A)}
7. ((Id_Kan-type(A) a b))s = (Id_Kan-type((A)s) (a)s (b)s) ∈ {Delta ⊢ _}
8. I : Cname List
9. alpha : Delta(I)
10. J : nameset(I) List
11. x : nameset(I)
12. i : ℕ2
13. x1 : A-open-box(Delta;((Id_Kan-type(A) a b))s;I;alpha;J;x;i)
14. A-open-box(Delta;((Id_Kan-type(A) a b))s;I;alpha;J;x;i) ⊆r A-open-box(X;(Id_Kan-type(A) a b);I;(s)alpha;J;x;i)
15. Kan_id_filler(X;A;a;b) I (s)alpha J x i x1 ∈ I-path(X;Kan-type(A);a;b;I;(s)alpha)
16. Kan_id_filler(Delta;(A)s;(a)s;(b)s) I alpha J x i x1 ∈ I-path(X;Kan-type(A);a;b;I;(s)alpha)
⊢ (Kan_id_filler(X;A;a;b) I (s)alpha J x i x1)
= (Kan_id_filler(Delta;(A)s;(a)s;(b)s) I alpha J x i x1)
∈ I-path(X;Kan-type(A);a;b;I;(s)alpha)

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  CubicalSet
2.  Delta  :  CubicalSet
3.  s  :  Delta  {}\mrightarrow{}  X
4.  A  :  \{X  \mvdash{}  \_(Kan)\}
5.  a  :  \{X  \mvdash{}  \_:Kan-type(A)\}
6.  b  :  \{X  \mvdash{}  \_:Kan-type(A)\}
7.  ((Id\_Kan-type(A)  a  b))s  =  (Id\_Kan-type((A)s)  (a)s  (b)s)
8.  I  :  Cname  List
9.  alpha  :  Delta(I)
10.  J  :  nameset(I)  List
11.  x  :  nameset(I)
12.  i  :  \mBbbN{}2
13.  x1  :  A-open-box(Delta;((Id\_Kan-type(A)  a  b))s;I;alpha;J;x;i)
14.  A-open-box(Delta;((Id\_Kan-type(A)  a  b))s;I;alpha;J;x;i)
            \msubseteq{}r  A-open-box(X;(Id\_Kan-type(A)  a  b);I;(s)alpha;J;x;i)
15.  Kan\_id\_filler(X;A;a;b)  I  (s)alpha  J  x  i  x1  \mmember{}  I-path(X;Kan-type(A);a;b;I;(s)alpha)
\mvdash{}  (Kan\_id\_filler(X;A;a;b)  I  (s)alpha  J  x  i  x1)
=  (Kan\_id\_filler(Delta;(A)s;(a)s;(b)s)  I  alpha  J  x  i  x1)


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}Kan\_id\_filler(Delta;(A)s;(a)s;(b)s)  I  alpha  J  x  i  x1  \mmember{}  I-path(X;Kan-type(A);a;b;I;(s)alpha)\mkleeneclose{}
\mcdot{}

---

Home Index