---

Step * 1 of Lemma csm-ap-cubical-pair

.....wf..... 
1. X : CubicalSet
2. Delta : CubicalSet
3. A : {X ⊢ _}
4. B : {X.A ⊢ _}
5. u : {X ⊢ _:A}
6. v : {X ⊢ _:(B)[u]}
7. s : Delta ⟶ X
⊢ cubical-pair((u)s;(v)s) ∈ I:(Cname List) ⟶ a:Delta(I) ⟶ ((fst((Σ A B)s)) I a)
BY
{ ((Assert X.A ⊢ B BY
          Trivial)
   THEN RepeatFor 2 (DVar `B')
   THEN (DVar `u' THEN DVar `v')
   THEN DVar `s'
   THEN (Assert X ⊢ A BY
               Trivial)
   THEN RepeatFor 2 (DVar `A')
   THEN RepUR ``cubical-pair csm-ap-term csm-ap csm-ap-type csm-id-adjoin csm-adjoin`` 0
   THEN RepeatFor 2 (DVar `Delta')
   THEN All (RepUR ``cat-ob name-cat cat-arrow type-cat cat-comp functor-ob
                    csm-id identity-trans cat-id type-cat functor-arrow 
                    cubical-type-at cubical-sigma I-cube``)⋅
   THEN RepeatFor 2 ((MemCD THENA Auto))) }

1
.....subterm..... T:t
1:n
1. X : CubicalSet
2. X1 : L:(Cname List) ⟶ Type
3. D1 : I:(Cname List) ⟶ J:(Cname List) ⟶ name-morph(I;J) ⟶ (X1 I) ⟶ (X1 J)
4. let X,F = <X1, D1> 
   in (∀I,J,K:Cname List. ∀f:name-morph(I;J). ∀g:name-morph(J;K).
         ((F I K (f o g)) = ((F J K g) o (F I J f)) ∈ ((X I) ⟶ (X K))))
      ∧ (∀I:Cname List. ((F I I 1) = (λx.x) ∈ ((X I) ⟶ (X I))))
5. A1 : I:(Cname List) ⟶ ((fst(X)) I) ⟶ Type
6. A2 : I:(Cname List) ⟶ J:(Cname List) ⟶ f:name-morph(I;J) ⟶ a:((fst(X)) I) ⟶ (A1 I a) ⟶ (A1 J f(a))
7. (∀I:Cname List. ∀a:(fst(X)) I. ∀u:A1 I a.  ((A2 I I 1 a u) = u ∈ (A1 I a)))
∧ (∀I,J,K:Cname List. ∀f:name-morph(I;J). ∀g:name-morph(J;K). ∀a:(fst(X)) I. ∀u:A1 I a.
     ((A2 I K (f o g) a u) = (A2 J K g f(a) (A2 I J f a u)) ∈ (A1 K (f o g)(a))))
8. A@0 : I:(Cname List) ⟶ ((fst(X.<A1, A2>)) I) ⟶ Type
9. B1 : I:(Cname List) ⟶ J:(Cname List) ⟶ f:name-morph(I;J) ⟶ a:((fst(X.<A1, A2>)) I) ⟶ (A@0 I a) ⟶ (A@0 J f(a))
10. (∀I:Cname List. ∀a:(fst(X.<A1, A2>)) I. ∀u:A@0 I a.  ((B1 I I 1 a u) = u ∈ (A@0 I a)))
∧ (∀I,J,K:Cname List. ∀f:name-morph(I;J). ∀g:name-morph(J;K). ∀a:(fst(X.<A1, A2>)) I. ∀u:A@0 I a.
     ((B1 I K (f o g) a u) = (B1 J K g f(a) (B1 I J f a u)) ∈ (A@0 K (f o g)(a))))
11. u : I:(Cname List) ⟶ a:((fst(X)) I) ⟶ (A1 I a)
12. ∀I,J:Cname List. ∀f:name-morph(I;J). ∀a:(fst(X)) I.  ((A2 I J f a (u I a)) = (u J f(a)) ∈ (A1 J f(a)))
13. v : I:(Cname List) ⟶ a:((fst(X)) I) ⟶ ((fst((<A@0, B1>)[u])) I a)
14. ∀I,J:Cname List. ∀f:name-morph(I;J). ∀a:(fst(X)) I.  ((B1 I J f ([u])a (v I a)) = (v J f(a)) ∈ (A@0 J ([u])f(a)))
15. s : A:(Cname List) ⟶ (X1 A) ⟶ ((fst(X)) A)
16. ∀A,B:Cname List. ∀g:name-morph(A;B).  ((((snd(X)) A B g) o (s A)) = ((s B) o (D1 A B g)) ∈ ((X1 A) ⟶ ((fst(X)) B)))
17. X.<A1, A2> ⊢ <A@0, B1>
18. X ⊢ <A1, A2>
19. I : Cname List
20. a : X1 I
⊢ <u I (s I a), v I (s I a)> ∈ u:A1 I (s I a) × (A@0 I (s I a;u))

---

Latex:

---

Latex:
.....wf..... 
1.  X  :  CubicalSet
2.  Delta  :  CubicalSet
3.  A  :  \{X  \mvdash{}  \_\}
4.  B  :  \{X.A  \mvdash{}  \_\}
5.  u  :  \{X  \mvdash{}  \_:A\}
6.  v  :  \{X  \mvdash{}  \_:(B)[u]\}
7.  s  :  Delta  {}\mrightarrow{}  X
\mvdash{}  cubical-pair((u)s;(v)s)  \mmember{}  I:(Cname  List)  {}\mrightarrow{}  a:Delta(I)  {}\mrightarrow{}  ((fst((\mSigma{}  A  B)s))  I  a)


By

---

Latex:
((Assert  X.A  \mvdash{}  B  BY
                Trivial)
  THEN  RepeatFor  2  (DVar  `B')
  THEN  (DVar  `u'  THEN  DVar  `v')
  THEN  DVar  `s'
  THEN  (Assert  X  \mvdash{}  A  BY
                          Trivial)
  THEN  RepeatFor  2  (DVar  `A')
  THEN  RepUR  ``cubical-pair  csm-ap-term  csm-ap  csm-ap-type  csm-id-adjoin  csm-adjoin``  0
  THEN  RepeatFor  2  (DVar  `Delta')
  THEN  All  (RepUR  ``cat-ob  name-cat  cat-arrow  type-cat  cat-comp  functor-ob
                                    csm-id  identity-trans  cat-id  type-cat  functor-arrow 
                                    cubical-type-at  cubical-sigma  I-cube``)\mcdot{}
  THEN  RepeatFor  2  ((MemCD  THENA  Auto)))

---

Home Index