---

Step * 2 1 1 1 2 of Lemma csm-cubical-identity


1. X : CubicalSet
2. Delta : CubicalSet
3. s : Delta ⟶ X
4. A1 : I:(Cname List) ⟶ X(I) ⟶ Type
5. A2 : I:(Cname List) ⟶ J:(Cname List) ⟶ f:name-morph(I;J) ⟶ a:X(I) ⟶ (A1 I a) ⟶ (A1 J f(a))
6. ∀I:Cname List. ∀a:X(I). ∀u:A1 I a.  ((A2 I I 1 a u) = u ∈ (A1 I a))
7. ∀I,J,K:Cname List. ∀f:name-morph(I;J). ∀g:name-morph(J;K). ∀a:X(I). ∀u:A1 I a.
     ((A2 I K (f o g) a u) = (A2 J K g f(a) (A2 I J f a u)) ∈ (A1 K (f o g)(a)))
8. a : {X ⊢ _:<A1, A2>}
9. b : {X ⊢ _:<A1, A2>}
10. X ⊢ <A1, A2>
11. Delta ⊢ (<A1, A2>)s
12. I : Cname List
13. J : Cname List
14. f : name-morph(I;J)
15. a1 : Delta(I)
16. z : {z:Cname| ¬(z ∈ I)} 
17. u2 : named-path(X;<A1, A2>;a;b;I;(s)a1;z)
18. z1 : {z:Cname| ¬(z ∈ I)} 
19. u3 : <A1, A2>(iota(z1)((s)a1))
20. name-path-endpoints(X;<A1, A2>;a;b;I;(s)a1;z1;u3)
21. path-eq(X;<A1, A2>;I;(s)a1;<z, u2>;<z1, u3>)
⊢ (u2 iota(z)((s)a1) f[z:=fresh-cname(J)])
= (u3 iota(z1)(a1) f[z1:=fresh-cname(J)])
∈ <A1, A2>(iota(fresh-cname(J))((s)f(a1)))
BY
{ RepUR ``path-eq`` -1 }

1
1. X : CubicalSet
2. Delta : CubicalSet
3. s : Delta ⟶ X
4. A1 : I:(Cname List) ⟶ X(I) ⟶ Type
5. A2 : I:(Cname List) ⟶ J:(Cname List) ⟶ f:name-morph(I;J) ⟶ a:X(I) ⟶ (A1 I a) ⟶ (A1 J f(a))
6. ∀I:Cname List. ∀a:X(I). ∀u:A1 I a.  ((A2 I I 1 a u) = u ∈ (A1 I a))
7. ∀I,J,K:Cname List. ∀f:name-morph(I;J). ∀g:name-morph(J;K). ∀a:X(I). ∀u:A1 I a.
     ((A2 I K (f o g) a u) = (A2 J K g f(a) (A2 I J f a u)) ∈ (A1 K (f o g)(a)))
8. a : {X ⊢ _:<A1, A2>}
9. b : {X ⊢ _:<A1, A2>}
10. X ⊢ <A1, A2>
11. Delta ⊢ (<A1, A2>)s
12. I : Cname List
13. J : Cname List
14. f : name-morph(I;J)
15. a1 : Delta(I)
16. z : {z:Cname| ¬(z ∈ I)} 
17. u2 : named-path(X;<A1, A2>;a;b;I;(s)a1;z)
18. z1 : {z:Cname| ¬(z ∈ I)} 
19. u3 : <A1, A2>(iota(z1)((s)a1))
20. name-path-endpoints(X;<A1, A2>;a;b;I;(s)a1;z1;u3)
21. (u2 iota(z)((s)a1) rename-one-name(z;z1)) = u3 ∈ <A1, A2>(iota(z1)((s)a1))
⊢ (u2 iota(z)((s)a1) f[z:=fresh-cname(J)])
= (u3 iota(z1)(a1) f[z1:=fresh-cname(J)])
∈ <A1, A2>(iota(fresh-cname(J))((s)f(a1)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  CubicalSet
2.  Delta  :  CubicalSet
3.  s  :  Delta  {}\mrightarrow{}  X
4.  A1  :  I:(Cname  List)  {}\mrightarrow{}  X(I)  {}\mrightarrow{}  Type
5.  A2  :  I:(Cname  List)  {}\mrightarrow{}  J:(Cname  List)  {}\mrightarrow{}  f:name-morph(I;J)  {}\mrightarrow{}  a:X(I)  {}\mrightarrow{}  (A1  I  a)  {}\mrightarrow{}  (A1  J  f(a))
6.  \mforall{}I:Cname  List.  \mforall{}a:X(I).  \mforall{}u:A1  I  a.    ((A2  I  I  1  a  u)  =  u)
7.  \mforall{}I,J,K:Cname  List.  \mforall{}f:name-morph(I;J).  \mforall{}g:name-morph(J;K).  \mforall{}a:X(I).  \mforall{}u:A1  I  a.
          ((A2  I  K  (f  o  g)  a  u)  =  (A2  J  K  g  f(a)  (A2  I  J  f  a  u)))
8.  a  :  \{X  \mvdash{}  \_:<A1,  A2>\}
9.  b  :  \{X  \mvdash{}  \_:<A1,  A2>\}
10.  X  \mvdash{}  <A1,  A2>
11.  Delta  \mvdash{}  (<A1,  A2>)s
12.  I  :  Cname  List
13.  J  :  Cname  List
14.  f  :  name-morph(I;J)
15.  a1  :  Delta(I)
16.  z  :  \{z:Cname|  \mneg{}(z  \mmember{}  I)\} 
17.  u2  :  named-path(X;<A1,  A2>a;b;I;(s)a1;z)
18.  z1  :  \{z:Cname|  \mneg{}(z  \mmember{}  I)\} 
19.  u3  :  <A1,  A2>(iota(z1)((s)a1))
20.  name-path-endpoints(X;<A1,  A2>a;b;I;(s)a1;z1;u3)
21.  path-eq(X;<A1,  A2>I;(s)a1;<z,  u2><z1,  u3>)
\mvdash{}  (u2  iota(z)((s)a1)  f[z:=fresh-cname(J)])  =  (u3  iota(z1)(a1)  f[z1:=fresh-cname(J)])


By

---

Latex:
RepUR  ``path-eq``  -1

---

Home Index