---

Step * 2 1 of Lemma cubical-app_wf


1. X : CubicalSet
2. A : {X ⊢ _}
3. A@0 : I:(Cname List) ⟶ X.A(I) ⟶ Type
4. B1 : I:(Cname List) ⟶ J:(Cname List) ⟶ f:name-morph(I;J) ⟶ a:X.A(I) ⟶ (A@0 I a) ⟶ (A@0 J f(a))
5. (∀I:Cname List. ∀a:X.A(I). ∀u:A@0 I a.  ((B1 I I 1 a u) = u ∈ (A@0 I a)))
∧ (∀I,J,K:Cname List. ∀f:name-morph(I;J). ∀g:name-morph(J;K). ∀a:X.A(I). ∀u:A@0 I a.
     ((B1 I K (f o g) a u) = (B1 J K g f(a) (B1 I J f a u)) ∈ (A@0 K (f o g)(a))))
6. X.A ⊢ <A@0, B1>
7. w : {X ⊢ _:ΠA <A@0, B1>}
8. u : {X ⊢ _:A}
9. I : Cname List@i
10. J : Cname List@i
11. f : name-morph(I;J)@i
12. a : X(I)@i
⊢ (B1 I J f ([u])a (w I a I 1 (u I a))) = (w J f(a) J 1 (u J f(a))) ∈ (A@0 J ([u])f(a))
BY
{ TACTIC:(DVar `w' THEN All (RepUR ``cubical-pi``)) }

1
1. X : CubicalSet
2. A : {X ⊢ _}
3. A@0 : I:(Cname List) ⟶ X.A(I) ⟶ Type
4. B1 : I:(Cname List) ⟶ J:(Cname List) ⟶ f:name-morph(I;J) ⟶ a:X.A(I) ⟶ (A@0 I a) ⟶ (A@0 J f(a))
5. (∀I:Cname List. ∀a:X.A(I). ∀u:A@0 I a.  ((B1 I I 1 a u) = u ∈ (A@0 I a)))
∧ (∀I,J,K:Cname List. ∀f:name-morph(I;J). ∀g:name-morph(J;K). ∀a:X.A(I). ∀u:A@0 I a.
     ((B1 I K (f o g) a u) = (B1 J K g f(a) (B1 I J f a u)) ∈ (A@0 K (f o g)(a))))
6. X.A ⊢ <A@0, B1>
7. w : I:(Cname List) ⟶ a:X(I) ⟶ cubical-pi-family(X;A;<A@0, B1>;I;a)
8. ∀I,J:Cname List. ∀f:name-morph(I;J). ∀a:X(I).  ((λK,g. (w I a K (f o g))) = (w J f(a)) ∈ cubical-pi-family(X;A;<A@0, \000CB1>;J;f(a)))
9. u : {X ⊢ _:A}
10. I : Cname List@i
11. J : Cname List@i
12. f : name-morph(I;J)@i
13. a : X(I)@i
⊢ (B1 I J f ([u])a (w I a I 1 (u I a))) = (w J f(a) J 1 (u J f(a))) ∈ (A@0 J ([u])f(a))

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  CubicalSet
2.  A  :  \{X  \mvdash{}  \_\}
3.  A@0  :  I:(Cname  List)  {}\mrightarrow{}  X.A(I)  {}\mrightarrow{}  Type
4.  B1  :  I:(Cname  List)
{}\mrightarrow{}  J:(Cname  List)
{}\mrightarrow{}  f:name-morph(I;J)
{}\mrightarrow{}  a:X.A(I)
{}\mrightarrow{}  (A@0  I  a)
{}\mrightarrow{}  (A@0  J  f(a))
5.  (\mforall{}I:Cname  List.  \mforall{}a:X.A(I).  \mforall{}u:A@0  I  a.    ((B1  I  I  1  a  u)  =  u))
\mwedge{}  (\mforall{}I,J,K:Cname  List.  \mforall{}f:name-morph(I;J).  \mforall{}g:name-morph(J;K).  \mforall{}a:X.A(I).  \mforall{}u:A@0  I  a.
          ((B1  I  K  (f  o  g)  a  u)  =  (B1  J  K  g  f(a)  (B1  I  J  f  a  u))))
6.  X.A  \mvdash{}  <A@0,  B1>
7.  w  :  \{X  \mvdash{}  \_:\mPi{}A  <A@0,  B1>\}
8.  u  :  \{X  \mvdash{}  \_:A\}
9.  I  :  Cname  List@i
10.  J  :  Cname  List@i
11.  f  :  name-morph(I;J)@i
12.  a  :  X(I)@i
\mvdash{}  (B1  I  J  f  ([u])a  (w  I  a  I  1  (u  I  a)))  =  (w  J  f(a)  J  1  (u  J  f(a)))


By

---

Latex:
TACTIC:(DVar  `w'  THEN  All  (RepUR  ``cubical-pi``))

---

Home Index