---

Step * 1 1 of Lemma cubical-eta


1. X : CubicalSet
2. A : {X ⊢ _}
3. B : {X.A ⊢ _}
4. w : I:(Cname List) ⟶ a:X(I) ⟶ cubical-pi-family(X;A;B;I;a)
5. ∀I,J:Cname List. ∀f:name-morph(I;J). ∀a:X(I).  let A,F = ΠA B in (F I J f a (w I a)) = (w J f(a)) ∈ (A J f(a))
6. I : Cname List
7. a : X(I)
⊢ (w I a) = (λJ,f,u. (w J (fst((f(a);u))) J 1 (snd((f(a);u))))) ∈ cubical-pi-family(X;A;B;I;a)
BY
{ xxx((Assert w I a ∈ cubical-pi-family(X;A;B;I;a) BY
             Auto)
      THEN (MemTypeHD (-1) THENA Auto)
      THEN EqTypeCD
      THEN Auto
      THEN ((Ext THENA Auto) THEN RenameVar `J' (-1))
      THEN ((Ext THENA Auto) THEN RenameVar `f' (-1))
      THEN (Ext THENA Auto)
      THEN RenameVar `u' (-1)
      THEN Reduce 0)xxx }

1
1. X : CubicalSet
2. A : {X ⊢ _}
3. B : {X.A ⊢ _}
4. w : I:(Cname List) ⟶ a:X(I) ⟶ cubical-pi-family(X;A;B;I;a)
5. ∀I,J:Cname List. ∀f:name-morph(I;J). ∀a:X(I).  let A,F = ΠA B in (F I J f a (w I a)) = (w J f(a)) ∈ (A J f(a))
6. I : Cname List
7. a : X(I)
8. (w I a) = (w I a) ∈ (J:(Cname List) ⟶ f:name-morph(I;J) ⟶ u:A(f(a)) ⟶ B((f(a);u)))
9. ∀J,K:Cname List. ∀f:name-morph(I;J). ∀g:name-morph(J;K). ∀u:A(f(a)).
     ((w I a J f u (f(a);u) g) = (w I a K (f o g) (u f(a) g)) ∈ B(g((f(a);u))))
10. J : Cname List
11. f : name-morph(I;J)
12. u : A(f(a))
⊢ (w I a J f u) = (w J (fst((f(a);u))) J 1 (snd((f(a);u)))) ∈ B((f(a);u))

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  CubicalSet
2.  A  :  \{X  \mvdash{}  \_\}
3.  B  :  \{X.A  \mvdash{}  \_\}
4.  w  :  I:(Cname  List)  {}\mrightarrow{}  a:X(I)  {}\mrightarrow{}  cubical-pi-family(X;A;B;I;a)
5.  \mforall{}I,J:Cname  List.  \mforall{}f:name-morph(I;J).  \mforall{}a:X(I).    let  A,F  =  \mPi{}A  B  in  (F  I  J  f  a  (w  I  a))  =  (w  J  f(a))
6.  I  :  Cname  List
7.  a  :  X(I)
\mvdash{}  (w  I  a)  =  (\mlambda{}J,f,u.  (w  J  (fst((f(a);u)))  J  1  (snd((f(a);u)))))


By

---

Latex:
xxx((Assert  w  I  a  \mmember{}  cubical-pi-family(X;A;B;I;a)  BY
                      Auto)
        THEN  (MemTypeHD  (-1)  THENA  Auto)
        THEN  EqTypeCD
        THEN  Auto
        THEN  ((Ext  THENA  Auto)  THEN  RenameVar  `J'  (-1))
        THEN  ((Ext  THENA  Auto)  THEN  RenameVar  `f'  (-1))
        THEN  (Ext  THENA  Auto)
        THEN  RenameVar  `u'  (-1)
        THEN  Reduce  0)xxx

---

Home Index