---

Step * 1 1 of Lemma length-open_box


1. X : CubicalSet
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. x : nameset(I)
5. i : ℕ2
6. box : I-face(X;I) List
7. adjacent-compatible(X;I;box)
8. ¬(x ∈ J)
9. l_subset(Cname;J;I)
10. ∀y:nameset(J). ∀c:ℕ2.  (∃f∈box. face-name(f) = <y, c> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
11. (∃f∈box. face-name(f) = <x, i> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
12. (∀f∈box.¬(face-name(f) = <x, 1 - i> ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
13. (∀f∈box.(fst(f) ∈ [x / J]))
14. (∀f1,f2∈box.  ¬(face-name(f1) = face-name(f2) ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
15. CnameDeq ∈ EqDecider(nameset(I))
16. λi.if eq-cname(dimension(box[i]);x) then inl 0 else inr face-name(box[i])  fi  ∈ ℕ||box||
    ⟶ (ℕ1 + (nameset(J) × ℕ2))
⊢ ℕ||box|| ~ ℕ1 + (nameset(J) × ℕ2)
BY
{ (With ⌜λi.if eq-cname(dimension(box[i]);x) then inl 0 else inr face-name(box[i])  fi ⌝ (D 0)⋅ THEN Auto THEN D 0) }

1
1. X : CubicalSet
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. x : nameset(I)
5. i : ℕ2
6. box : I-face(X;I) List
7. adjacent-compatible(X;I;box)
8. ¬(x ∈ J)
9. l_subset(Cname;J;I)
10. ∀y:nameset(J). ∀c:ℕ2.  (∃f∈box. face-name(f) = <y, c> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
11. (∃f∈box. face-name(f) = <x, i> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
12. (∀f∈box.¬(face-name(f) = <x, 1 - i> ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
13. (∀f∈box.(fst(f) ∈ [x / J]))
14. (∀f1,f2∈box.  ¬(face-name(f1) = face-name(f2) ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
15. CnameDeq ∈ EqDecider(nameset(I))
16. λi.if eq-cname(dimension(box[i]);x) then inl 0 else inr face-name(box[i])  fi  ∈ ℕ||box||
    ⟶ (ℕ1 + (nameset(J) × ℕ2))
⊢ Inj(ℕ||box||;ℕ1 + (nameset(J) × ℕ2);λi.if eq-cname(dimension(box[i]);x) then inl 0 else inr face-name(box[i])  fi )

2
1. X : CubicalSet
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. x : nameset(I)
5. i : ℕ2
6. box : I-face(X;I) List
7. adjacent-compatible(X;I;box)
8. ¬(x ∈ J)
9. l_subset(Cname;J;I)
10. ∀y:nameset(J). ∀c:ℕ2.  (∃f∈box. face-name(f) = <y, c> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
11. (∃f∈box. face-name(f) = <x, i> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
12. (∀f∈box.¬(face-name(f) = <x, 1 - i> ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
13. (∀f∈box.(fst(f) ∈ [x / J]))
14. (∀f1,f2∈box.  ¬(face-name(f1) = face-name(f2) ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
15. CnameDeq ∈ EqDecider(nameset(I))
16. λi.if eq-cname(dimension(box[i]);x) then inl 0 else inr face-name(box[i])  fi  ∈ ℕ||box||
    ⟶ (ℕ1 + (nameset(J) × ℕ2))
⊢ Surj(ℕ||box||;ℕ1 + (nameset(J) × ℕ2);λi.if eq-cname(dimension(box[i]);x) then inl 0 else inr face-name(box[i])  fi )

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  CubicalSet
2.  I  :  Cname  List
3.  J  :  nameset(I)  List
4.  x  :  nameset(I)
5.  i  :  \mBbbN{}2
6.  box  :  I-face(X;I)  List
7.  adjacent-compatible(X;I;box)
8.  \mneg{}(x  \mmember{}  J)
9.  l\_subset(Cname;J;I)
10.  \mforall{}y:nameset(J).  \mforall{}c:\mBbbN{}2.    (\mexists{}f\mmember{}box.  face-name(f)  =  <y,  c>)
11.  (\mexists{}f\mmember{}box.  face-name(f)  =  <x,  i>)
12.  (\mforall{}f\mmember{}box.\mneg{}(face-name(f)  =  <x,  1  -  i>))
13.  (\mforall{}f\mmember{}box.(fst(f)  \mmember{}  [x  /  J]))
14.  (\mforall{}f1,f2\mmember{}box.    \mneg{}(face-name(f1)  =  face-name(f2)))
15.  CnameDeq  \mmember{}  EqDecider(nameset(I))
16.  \mlambda{}i.if  eq-cname(dimension(box[i]);x)  then  inl  0  else  inr  face-name(box[i])    fi    \mmember{}  \mBbbN{}||box||
        {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}1  +  (nameset(J)  \mtimes{}  \mBbbN{}2))
\mvdash{}  \mBbbN{}||box||  \msim{}  \mBbbN{}1  +  (nameset(J)  \mtimes{}  \mBbbN{}2)


By

---

Latex:
(With  \mkleeneopen{}\mlambda{}i.if  eq-cname(dimension(box[i]);x)  then  inl  0  else  inr  face-name(box[i])    fi  \mkleeneclose{}  (D  0)\mcdot{}
  THEN  Auto
  THEN  D  0)

---

Home Index