---

Step * 1 1 2 1 2 1 1 of Lemma lift-id-faces-wf

.....assertion..... 
1. X : CubicalSet
2. A : {X ⊢ _}
3. a : {X ⊢ _:A}
4. b : {X ⊢ _:A}
5. I : Cname List
6. J : nameset(I) List
7. x : nameset(I)
8. i : ℕ2
9. alpha : X(I)
10. box : A-face(X;(Id_A a b);I;alpha) List
11. ∀i:ℕ||box||. ∀j:ℕi.  A-face-compatible(X;(Id_A a b);I;alpha;box[j];box[i])
12. ¬(x ∈ J)
13. l_subset(Cname;J;I)
14. ∀y:nameset(J). ∀c:ℕ2.  (∃f∈box. A-face-name(f) = <y, c> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
15. (∃f∈box. A-face-name(f) = <x, i> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
16. (∀f∈box.¬(A-face-name(f) = <x, 1 - i> ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
17. (∀f∈box.(fst(f) ∈ [x / J]))
18. (∀f1,f2∈box.  ¬(A-face-name(f1) = A-face-name(f2) ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
19. i1 : ℕ||box||
20. ∀j:ℕi1. A-face-compatible(X;(Id_A a b);I;alpha;box[j];box[i1])
21. j : ℕi1
22. x1 : nameset(I)
23. i2 : ℕ2
24. v3 : (Id_A a b)((x1:=i2)(alpha))
25. box[j] = <x1, i2, v3> ∈ A-face(X;(Id_A a b);I;alpha)
26. x2 : nameset(I)
27. i3 : ℕ2
28. v5 : (Id_A a b)((x2:=i3)(alpha))
29. box[i1] = <x2, i3, v5> ∈ A-face(X;(Id_A a b);I;alpha)
30. ¬(x1 = x2 ∈ Cname)
31. (v3 (x1:=i2)(alpha) (x2:=i3)) = (v5 (x2:=i3)(alpha) (x1:=i2)) ∈ (Id_A a b)(((x2:=i3) o (x1:=i2))(alpha))
32. ∀i:ℕ2. ∀x:nameset(I).  (I-path(X;A;a;b;I-[x];(x:=i)(alpha)) ⊆r (Id_A a b)((x:=i)(alpha)))
33. v : I-path(X;A;a;b;I-[x1];(x1:=i2)(alpha))
34. ((fst(v)) = fresh-cname(I) ∈ Cname) ∧ (v = v3 ∈ (Id_A a b)((x1:=i2)(alpha)))
35. set-path-name(X;A;I-[x1];(x1:=i2)(alpha);fresh-cname(I);v3)
= v
∈ {q:I-path(X;A;a;b;I-[x1];(x1:=i2)(alpha))| 
   ((fst(q)) = fresh-cname(I) ∈ Cname) ∧ (q = v3 ∈ (Id_A a b)((x1:=i2)(alpha)))} 
36. v6 : I-path(X;A;a;b;I-[x2];(x2:=i3)(alpha))
37. ((fst(v6)) = fresh-cname(I) ∈ Cname) ∧ (v6 = v5 ∈ (Id_A a b)((x2:=i3)(alpha)))
38. set-path-name(X;A;I-[x2];(x2:=i3)(alpha);fresh-cname(I);v5)
= v6
∈ {q:I-path(X;A;a;b;I-[x2];(x2:=i3)(alpha))| 
   ((fst(q)) = fresh-cname(I) ∈ Cname) ∧ (q = v5 ∈ (Id_A a b)((x2:=i3)(alpha)))} 
39. (v (x1:=i2)(alpha) (x2:=i3))
= (v6 (x2:=i3)(alpha) (x1:=i2))
∈ cubical-path(X;A;a;b;I-[x1; x2];((x2:=i3) o (x1:=i2))(alpha))
⊢ ((x2:=i3) o (x1:=i2)) ∈ name-morph(I;I-[x1; x2])
BY
{ TACTIC:(Using [`J',⌜I-[x2]⌝] MemCD⋅ THEN Auto THEN FaceMapDiff2 THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  X  :  CubicalSet
2.  A  :  \{X  \mvdash{}  \_\}
3.  a  :  \{X  \mvdash{}  \_:A\}
4.  b  :  \{X  \mvdash{}  \_:A\}
5.  I  :  Cname  List
6.  J  :  nameset(I)  List
7.  x  :  nameset(I)
8.  i  :  \mBbbN{}2
9.  alpha  :  X(I)
10.  box  :  A-face(X;(Id\_A  a  b);I;alpha)  List
11.  \mforall{}i:\mBbbN{}||box||.  \mforall{}j:\mBbbN{}i.    A-face-compatible(X;(Id\_A  a  b);I;alpha;box[j];box[i])
12.  \mneg{}(x  \mmember{}  J)
13.  l\_subset(Cname;J;I)
14.  \mforall{}y:nameset(J).  \mforall{}c:\mBbbN{}2.    (\mexists{}f\mmember{}box.  A-face-name(f)  =  <y,  c>)
15.  (\mexists{}f\mmember{}box.  A-face-name(f)  =  <x,  i>)
16.  (\mforall{}f\mmember{}box.\mneg{}(A-face-name(f)  =  <x,  1  -  i>))
17.  (\mforall{}f\mmember{}box.(fst(f)  \mmember{}  [x  /  J]))
18.  (\mforall{}f1,f2\mmember{}box.    \mneg{}(A-face-name(f1)  =  A-face-name(f2)))
19.  i1  :  \mBbbN{}||box||
20.  \mforall{}j:\mBbbN{}i1.  A-face-compatible(X;(Id\_A  a  b);I;alpha;box[j];box[i1])
21.  j  :  \mBbbN{}i1
22.  x1  :  nameset(I)
23.  i2  :  \mBbbN{}2
24.  v3  :  (Id\_A  a  b)((x1:=i2)(alpha))
25.  box[j]  =  <x1,  i2,  v3>
26.  x2  :  nameset(I)
27.  i3  :  \mBbbN{}2
28.  v5  :  (Id\_A  a  b)((x2:=i3)(alpha))
29.  box[i1]  =  <x2,  i3,  v5>
30.  \mneg{}(x1  =  x2)
31.  (v3  (x1:=i2)(alpha)  (x2:=i3))  =  (v5  (x2:=i3)(alpha)  (x1:=i2))
32.  \mforall{}i:\mBbbN{}2.  \mforall{}x:nameset(I).    (I-path(X;A;a;b;I-[x];(x:=i)(alpha))  \msubseteq{}r  (Id\_A  a  b)((x:=i)(alpha)))
33.  v  :  I-path(X;A;a;b;I-[x1];(x1:=i2)(alpha))
34.  ((fst(v))  =  fresh-cname(I))  \mwedge{}  (v  =  v3)
35.  set-path-name(X;A;I-[x1];(x1:=i2)(alpha);fresh-cname(I);v3)  =  v
36.  v6  :  I-path(X;A;a;b;I-[x2];(x2:=i3)(alpha))
37.  ((fst(v6))  =  fresh-cname(I))  \mwedge{}  (v6  =  v5)
38.  set-path-name(X;A;I-[x2];(x2:=i3)(alpha);fresh-cname(I);v5)  =  v6
39.  (v  (x1:=i2)(alpha)  (x2:=i3))  =  (v6  (x2:=i3)(alpha)  (x1:=i2))
\mvdash{}  ((x2:=i3)  o  (x1:=i2))  \mmember{}  name-morph(I;I-[x1;  x2])


By

---

Latex:
TACTIC:(Using  [`J',\mkleeneopen{}I-[x2]\mkleeneclose{}]  MemCD\mcdot{}  THEN  Auto  THEN  FaceMapDiff2  THEN  Auto)

---

Home Index