---

Step * 1 of Lemma nerve_box_edge_same1


1. C : SmallCategory
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. x : nameset(I)
5. i : ℕ2
6. box : open_box(cubical-nerve(C);I;J;x;i)
7. ∀[L:name-morph(I;[])]
     ∀f:I-face(cubical-nerve(C);I)
       ((cube(f) L) = nerve_box_label(box;L) ∈ cat-ob(C)) supposing 
          ((f ∈ box) and 
          (direction(f) = (L dimension(f)) ∈ ℕ2)) 
     supposing ((L x) = i ∈ ℕ2) ∨ (¬↑null(J))
8. y : nameset(I)
9. c : {c:name-morph(I;[])| (c y) = 0 ∈ ℕ2} 
10. (∃j∈J. ¬(j = y ∈ Cname)) ∨ (((c x) = i ∈ ℕ2) ∧ (¬↑null(J)))
11. f : I-face(cubical-nerve(C);I)
12. (f ∈ box)
13. direction(f) = (c dimension(f)) ∈ ℕ2
14. direction(f) = (flip(c;y) dimension(f)) ∈ ℕ2
15. g : I-face(cubical-nerve(C);I)
16. (g ∈ box) ∧ (direction(g) = (c dimension(g)) ∈ ℕ2) ∧ (direction(g) = (flip(c;y) dimension(g)) ∈ ℕ2)
17. nerve-box-common-face(box;c;y)
= g
∈ {f:I-face(cubical-nerve(C);I)| 
   (f ∈ box) ∧ (direction(f) = (c dimension(f)) ∈ ℕ2) ∧ (direction(f) = (flip(c;y) dimension(f)) ∈ ℕ2)} 
18. ¬↑null(J)
19. (cube(g) c) = nerve_box_label(box;c) ∈ cat-ob(C)
20. (cube(g) flip(c;y)) = nerve_box_label(box;flip(c;y)) ∈ cat-ob(C)
⊢ (cube(f) c flip(c;y) (λx.Ax)) = (cube(g) c flip(c;y) (λx.Ax)) ∈ (cat-arrow(C) (cube(g) c) (cube(g) flip(c;y)))
BY
{ (Decide ⌜dimension(g) = dimension(f) ∈ Cname⌝⋅ THENA Auto) }

1
1. C : SmallCategory
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. x : nameset(I)
5. i : ℕ2
6. box : open_box(cubical-nerve(C);I;J;x;i)
7. ∀[L:name-morph(I;[])]
     ∀f:I-face(cubical-nerve(C);I)
       ((cube(f) L) = nerve_box_label(box;L) ∈ cat-ob(C)) supposing 
          ((f ∈ box) and 
          (direction(f) = (L dimension(f)) ∈ ℕ2)) 
     supposing ((L x) = i ∈ ℕ2) ∨ (¬↑null(J))
8. y : nameset(I)
9. c : {c:name-morph(I;[])| (c y) = 0 ∈ ℕ2} 
10. (∃j∈J. ¬(j = y ∈ Cname)) ∨ (((c x) = i ∈ ℕ2) ∧ (¬↑null(J)))
11. f : I-face(cubical-nerve(C);I)
12. (f ∈ box)
13. direction(f) = (c dimension(f)) ∈ ℕ2
14. direction(f) = (flip(c;y) dimension(f)) ∈ ℕ2
15. g : I-face(cubical-nerve(C);I)
16. (g ∈ box) ∧ (direction(g) = (c dimension(g)) ∈ ℕ2) ∧ (direction(g) = (flip(c;y) dimension(g)) ∈ ℕ2)
17. nerve-box-common-face(box;c;y)
= g
∈ {f:I-face(cubical-nerve(C);I)| 
   (f ∈ box) ∧ (direction(f) = (c dimension(f)) ∈ ℕ2) ∧ (direction(f) = (flip(c;y) dimension(f)) ∈ ℕ2)} 
18. ¬↑null(J)
19. (cube(g) c) = nerve_box_label(box;c) ∈ cat-ob(C)
20. (cube(g) flip(c;y)) = nerve_box_label(box;flip(c;y)) ∈ cat-ob(C)
21. dimension(g) = dimension(f) ∈ Cname
⊢ (cube(f) c flip(c;y) (λx.Ax)) = (cube(g) c flip(c;y) (λx.Ax)) ∈ (cat-arrow(C) (cube(g) c) (cube(g) flip(c;y)))

2
1. C : SmallCategory
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. x : nameset(I)
5. i : ℕ2
6. box : open_box(cubical-nerve(C);I;J;x;i)
7. ∀[L:name-morph(I;[])]
     ∀f:I-face(cubical-nerve(C);I)
       ((cube(f) L) = nerve_box_label(box;L) ∈ cat-ob(C)) supposing 
          ((f ∈ box) and 
          (direction(f) = (L dimension(f)) ∈ ℕ2)) 
     supposing ((L x) = i ∈ ℕ2) ∨ (¬↑null(J))
8. y : nameset(I)
9. c : {c:name-morph(I;[])| (c y) = 0 ∈ ℕ2} 
10. (∃j∈J. ¬(j = y ∈ Cname)) ∨ (((c x) = i ∈ ℕ2) ∧ (¬↑null(J)))
11. f : I-face(cubical-nerve(C);I)
12. (f ∈ box)
13. direction(f) = (c dimension(f)) ∈ ℕ2
14. direction(f) = (flip(c;y) dimension(f)) ∈ ℕ2
15. g : I-face(cubical-nerve(C);I)
16. (g ∈ box) ∧ (direction(g) = (c dimension(g)) ∈ ℕ2) ∧ (direction(g) = (flip(c;y) dimension(g)) ∈ ℕ2)
17. nerve-box-common-face(box;c;y)
= g
∈ {f:I-face(cubical-nerve(C);I)| 
   (f ∈ box) ∧ (direction(f) = (c dimension(f)) ∈ ℕ2) ∧ (direction(f) = (flip(c;y) dimension(f)) ∈ ℕ2)} 
18. ¬↑null(J)
19. (cube(g) c) = nerve_box_label(box;c) ∈ cat-ob(C)
20. (cube(g) flip(c;y)) = nerve_box_label(box;flip(c;y)) ∈ cat-ob(C)
21. ¬(dimension(g) = dimension(f) ∈ Cname)
⊢ (cube(f) c flip(c;y) (λx.Ax)) = (cube(g) c flip(c;y) (λx.Ax)) ∈ (cat-arrow(C) (cube(g) c) (cube(g) flip(c;y)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  C  :  SmallCategory
2.  I  :  Cname  List
3.  J  :  nameset(I)  List
4.  x  :  nameset(I)
5.  i  :  \mBbbN{}2
6.  box  :  open\_box(cubical-nerve(C);I;J;x;i)
7.  \mforall{}[L:name-morph(I;[])]
          \mforall{}f:I-face(cubical-nerve(C);I)
              ((cube(f)  L)  =  nerve\_box\_label(box;L))  supposing 
                    ((f  \mmember{}  box)  and 
                    (direction(f)  =  (L  dimension(f)))) 
          supposing  ((L  x)  =  i)  \mvee{}  (\mneg{}\muparrow{}null(J))
8.  y  :  nameset(I)
9.  c  :  \{c:name-morph(I;[])|  (c  y)  =  0\} 
10.  (\mexists{}j\mmember{}J.  \mneg{}(j  =  y))  \mvee{}  (((c  x)  =  i)  \mwedge{}  (\mneg{}\muparrow{}null(J)))
11.  f  :  I-face(cubical-nerve(C);I)
12.  (f  \mmember{}  box)
13.  direction(f)  =  (c  dimension(f))
14.  direction(f)  =  (flip(c;y)  dimension(f))
15.  g  :  I-face(cubical-nerve(C);I)
16.  (g  \mmember{}  box)  \mwedge{}  (direction(g)  =  (c  dimension(g)))  \mwedge{}  (direction(g)  =  (flip(c;y)  dimension(g)))
17.  nerve-box-common-face(box;c;y)  =  g
18.  \mneg{}\muparrow{}null(J)
19.  (cube(g)  c)  =  nerve\_box\_label(box;c)
20.  (cube(g)  flip(c;y))  =  nerve\_box\_label(box;flip(c;y))
\mvdash{}  (cube(f)  c  flip(c;y)  (\mlambda{}x.Ax))  =  (cube(g)  c  flip(c;y)  (\mlambda{}x.Ax))


By

---

Latex:
(Decide  \mkleeneopen{}dimension(g)  =  dimension(f)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)

---

Home Index