---

Step * 1 1 1 2 2 3 2 1 1 1 of Lemma open_box_image_wf


1. X : CubicalSet
2. I : Cname List
3. J : Cname List
4. K : Cname List
5. f : name-morph(I;K)
6. nameset(map(f;J)) ⊆r nameset(K)
7. x : nameset(I)
8. ∀x:nameset([x / J]). (f x ∈ nameset(K))
9. i : ℕ2
10. nameset([x / J]) ⊆r name-morph-domain(f;I)
11. bx : I-face(X;I) List
12. adjacent-compatible(X;I;bx)
13. ¬(x ∈ J)
14. l_subset(Cname;J;I)
15. (∀y:nameset(J). ∀c:ℕ2.  (∃f∈bx. face-name(f) = <y, c> ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
∧ (∃f∈bx. face-name(f) = <x, i> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
∧ (∀f∈bx.¬(face-name(f) = <x, 1 - i> ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
16. (∀f1,f2∈bx.  ¬(face-name(f1) = face-name(f2) ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
17. ∀i:ℕ||bx||. (fst(bx[i]) ∈ [x / J])
18. ∀x:nameset(J). (f x ∈ nameset(K))
19. map(f;J) ∈ nameset(K) List
20. f x ∈ nameset(K)
21. ∀fc:I-face(X;I). ((fc ∈ bx) ⇒ (fst(fc) ∈ [x / J]))
22. ∀fc:I-face(X;I). ((fc ∈ bx) ⇒ (↑isname(f (fst(fc)))))
23. i1 : ℕ||bx||
24. i2 : ℕ
25. i2 < ||[x / J]||
26. (fst(bx[i1])) = [x / J][i2] ∈ Cname
⊢ (fst(face-image(X;I;K;f;bx[i1])) ∈ map(f;[x / J]))
BY
{ Subst' fst(face-image(X;I;K;f;bx[i1])) ~ f (fst(bx[i1])) 0 }

1
.....equality..... 
1. X : CubicalSet
2. I : Cname List
3. J : Cname List
4. K : Cname List
5. f : name-morph(I;K)
6. nameset(map(f;J)) ⊆r nameset(K)
7. x : nameset(I)
8. ∀x:nameset([x / J]). (f x ∈ nameset(K))
9. i : ℕ2
10. nameset([x / J]) ⊆r name-morph-domain(f;I)
11. bx : I-face(X;I) List
12. adjacent-compatible(X;I;bx)
13. ¬(x ∈ J)
14. l_subset(Cname;J;I)
15. (∀y:nameset(J). ∀c:ℕ2.  (∃f∈bx. face-name(f) = <y, c> ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
∧ (∃f∈bx. face-name(f) = <x, i> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
∧ (∀f∈bx.¬(face-name(f) = <x, 1 - i> ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
16. (∀f1,f2∈bx.  ¬(face-name(f1) = face-name(f2) ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
17. ∀i:ℕ||bx||. (fst(bx[i]) ∈ [x / J])
18. ∀x:nameset(J). (f x ∈ nameset(K))
19. map(f;J) ∈ nameset(K) List
20. f x ∈ nameset(K)
21. ∀fc:I-face(X;I). ((fc ∈ bx) ⇒ (fst(fc) ∈ [x / J]))
22. ∀fc:I-face(X;I). ((fc ∈ bx) ⇒ (↑isname(f (fst(fc)))))
23. i1 : ℕ||bx||
24. i2 : ℕ
25. i2 < ||[x / J]||
26. (fst(bx[i1])) = [x / J][i2] ∈ Cname
⊢ fst(face-image(X;I;K;f;bx[i1])) ~ f (fst(bx[i1]))

2
1. X : CubicalSet
2. I : Cname List
3. J : Cname List
4. K : Cname List
5. f : name-morph(I;K)
6. nameset(map(f;J)) ⊆r nameset(K)
7. x : nameset(I)
8. ∀x:nameset([x / J]). (f x ∈ nameset(K))
9. i : ℕ2
10. nameset([x / J]) ⊆r name-morph-domain(f;I)
11. bx : I-face(X;I) List
12. adjacent-compatible(X;I;bx)
13. ¬(x ∈ J)
14. l_subset(Cname;J;I)
15. (∀y:nameset(J). ∀c:ℕ2.  (∃f∈bx. face-name(f) = <y, c> ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
∧ (∃f∈bx. face-name(f) = <x, i> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
∧ (∀f∈bx.¬(face-name(f) = <x, 1 - i> ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
16. (∀f1,f2∈bx.  ¬(face-name(f1) = face-name(f2) ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
17. ∀i:ℕ||bx||. (fst(bx[i]) ∈ [x / J])
18. ∀x:nameset(J). (f x ∈ nameset(K))
19. map(f;J) ∈ nameset(K) List
20. f x ∈ nameset(K)
21. ∀fc:I-face(X;I). ((fc ∈ bx) ⇒ (fst(fc) ∈ [x / J]))
22. ∀fc:I-face(X;I). ((fc ∈ bx) ⇒ (↑isname(f (fst(fc)))))
23. i1 : ℕ||bx||
24. i2 : ℕ
25. i2 < ||[x / J]||
26. (fst(bx[i1])) = [x / J][i2] ∈ Cname
⊢ (f (fst(bx[i1])) ∈ map(f;[x / J]))

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  CubicalSet
2.  I  :  Cname  List
3.  J  :  Cname  List
4.  K  :  Cname  List
5.  f  :  name-morph(I;K)
6.  nameset(map(f;J))  \msubseteq{}r  nameset(K)
7.  x  :  nameset(I)
8.  \mforall{}x:nameset([x  /  J]).  (f  x  \mmember{}  nameset(K))
9.  i  :  \mBbbN{}2
10.  nameset([x  /  J])  \msubseteq{}r  name-morph-domain(f;I)
11.  bx  :  I-face(X;I)  List
12.  adjacent-compatible(X;I;bx)
13.  \mneg{}(x  \mmember{}  J)
14.  l\_subset(Cname;J;I)
15.  (\mforall{}y:nameset(J).  \mforall{}c:\mBbbN{}2.    (\mexists{}f\mmember{}bx.  face-name(f)  =  <y,  c>))
\mwedge{}  (\mexists{}f\mmember{}bx.  face-name(f)  =  <x,  i>)
\mwedge{}  (\mforall{}f\mmember{}bx.\mneg{}(face-name(f)  =  <x,  1  -  i>))
16.  (\mforall{}f1,f2\mmember{}bx.    \mneg{}(face-name(f1)  =  face-name(f2)))
17.  \mforall{}i:\mBbbN{}||bx||.  (fst(bx[i])  \mmember{}  [x  /  J])
18.  \mforall{}x:nameset(J).  (f  x  \mmember{}  nameset(K))
19.  map(f;J)  \mmember{}  nameset(K)  List
20.  f  x  \mmember{}  nameset(K)
21.  \mforall{}fc:I-face(X;I).  ((fc  \mmember{}  bx)  {}\mRightarrow{}  (fst(fc)  \mmember{}  [x  /  J]))
22.  \mforall{}fc:I-face(X;I).  ((fc  \mmember{}  bx)  {}\mRightarrow{}  (\muparrow{}isname(f  (fst(fc)))))
23.  i1  :  \mBbbN{}||bx||
24.  i2  :  \mBbbN{}
25.  i2  <  ||[x  /  J]||
26.  (fst(bx[i1]))  =  [x  /  J][i2]
\mvdash{}  (fst(face-image(X;I;K;f;bx[i1]))  \mmember{}  map(f;[x  /  J]))


By

---

Latex:
Subst'  fst(face-image(X;I;K;f;bx[i1]))  \msim{}  f  (fst(bx[i1]))  0

---

Home Index