---

Step * of Lemma poset-functor-extends-box-faces-1

∀G:Groupoid. ∀I:Cname List. ∀J:nameset(I) List. ∀x:nameset(I). ∀i:ℕ2. ∀bx:open_box(cubical-nerve(cat(G));I;J;x;i).
  (((¬↑null(J)) ∧ (∀j'∈J.j' = hd(J) ∈ Cname))
  ⇒ (∀fc∈bx.poset-functor-extends(cat(G);I-[dimension(fc)];λx.nerve_box_label(bx;((dimension(fc):=direction(fc)) o x));
                                   λz,f. nerve_box_edge1(G;bx;x;i;hd(J);((dimension(fc):=direction(fc)) o f);z);cube(fc)\000C)))
BY
{ (Auto
   THEN (D 0 THENA Auto)
   THEN RenameVar `i1' (-1)
   THEN (Assert ∀f:name-morph(I-[dimension(bx[i1])];[])
                  (((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o f) ∈ name-morph(I;[])) BY
               Auto)
   THEN D 0
   THEN Reduce 0
   THEN Auto) }

1
1. G : Groupoid
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. x : nameset(I)
5. i : ℕ2
6. bx : open_box(cubical-nerve(cat(G));I;J;x;i)
7. ¬↑null(J)
8. (∀j'∈J.j' = hd(J) ∈ Cname)
9. i1 : ℕ||bx||
10. ∀f:name-morph(I-[dimension(bx[i1])];[]). (((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o f) ∈ name-morph(I;[]))
⊢ ob(cube(bx[i1]))
= (λx.nerve_box_label(bx;((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o x)))
∈ (name-morph(I-[dimension(bx[i1])];[]) ⟶ cat-ob(cat(G)))

2
1. G : Groupoid
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. x : nameset(I)
5. i : ℕ2
6. bx : open_box(cubical-nerve(cat(G));I;J;x;i)
7. ¬↑null(J)
8. (∀j'∈J.j' = hd(J) ∈ Cname)
9. i1 : ℕ||bx||
10. ∀f:name-morph(I-[dimension(bx[i1])];[]). (((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o f) ∈ name-morph(I;[]))
11. i@0 : nameset(I-[dimension(bx[i1])])
12. c : {c:name-morph(I-[dimension(bx[i1])];[])| (c i@0) = 0 ∈ ℕ2} 
⊢ (cube(bx[i1]) c flip(c;i@0) (λx.Ax))
= nerve_box_edge1(G;bx;x;i;hd(J);((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c);i@0)
∈ (cat-arrow(cat(G)) nerve_box_label(bx;((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c)) 
   nerve_box_label(bx;((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o flip(c;i@0))))

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}G:Groupoid.  \mforall{}I:Cname  List.  \mforall{}J:nameset(I)  List.  \mforall{}x:nameset(I).  \mforall{}i:\mBbbN{}2.
\mforall{}bx:open\_box(cubical-nerve(cat(G));I;J;x;i).
    (((\mneg{}\muparrow{}null(J))  \mwedge{}  (\mforall{}j'\mmember{}J.j'  =  hd(J)))
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}fc\mmember{}bx.
                  poset-functor-extends(cat(G);I-[dimension(fc)];
                                                              \mlambda{}x.nerve\_box\_label(bx;((dimension(fc):=direction(fc))  o  x));
                                                              \mlambda{}z,f.  nerve\_box\_edge1(G;bx;x;i;hd(J);((dimension(fc):=...)  o  f);z);
                                                              cube(fc))))


By

---

Latex:
(Auto
  THEN  (D  0  THENA  Auto)
  THEN  RenameVar  `i1'  (-1)
  THEN  (Assert  \mforall{}f:name-morph(I-[dimension(bx[i1])];[])
                                (((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1]))  o  f)  \mmember{}  name-morph(I;[]))  BY
                          Auto)
  THEN  D  0
  THEN  Reduce  0
  THEN  Auto)

---

Home Index