---

Step * 2 of Lemma poset-functor-extends-box-faces-1


1. G : Groupoid
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. x : nameset(I)
5. i : ℕ2
6. bx : open_box(cubical-nerve(cat(G));I;J;x;i)
7. ¬↑null(J)
8. (∀j'∈J.j' = hd(J) ∈ Cname)
9. i1 : ℕ||bx||
10. ∀f:name-morph(I-[dimension(bx[i1])];[]). (((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o f) ∈ name-morph(I;[]))
11. i@0 : nameset(I-[dimension(bx[i1])])
12. c : {c:name-morph(I-[dimension(bx[i1])];[])| (c i@0) = 0 ∈ ℕ2} 
⊢ (cube(bx[i1]) c flip(c;i@0) (λx.Ax))
= nerve_box_edge1(G;bx;x;i;hd(J);((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c);i@0)
∈ (cat-arrow(cat(G)) nerve_box_label(bx;((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c)) 
   nerve_box_label(bx;((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o flip(c;i@0))))
BY
{ (RenameVar `i2' (-2)
   THEN (Assert ((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c) ∈ name-morph(I;[]) BY
               BackThruSomeHyp)
   THEN (Assert (((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c) i2) = 0 ∈ ℕ2 BY
               (DVar `c'
                THEN DVar `i2'
                THEN RepUR ``name-comp face-map`` 0
                THEN RepeatFor 2 ((RW ListC (-4) THENA Auto))
                THEN (BoolCase ⌜(i2 =z dimension(bx[i1]))⌝⋅ THENA Auto)
                THEN Try (Complete ((RepeatFor 2 (D -5) THEN HypSubst' (-1) 0 THEN Auto)))
                THEN RWO "uext-ap-name" 0
                THEN Auto
                THEN MemTypeCD
                THEN Auto
                THEN RW  ListC 0
                THEN Auto))) }

1
1. G : Groupoid
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. x : nameset(I)
5. i : ℕ2
6. bx : open_box(cubical-nerve(cat(G));I;J;x;i)
7. ¬↑null(J)
8. (∀j'∈J.j' = hd(J) ∈ Cname)
9. i1 : ℕ||bx||
10. ∀f:name-morph(I-[dimension(bx[i1])];[]). (((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o f) ∈ name-morph(I;[]))
11. i2 : nameset(I-[dimension(bx[i1])])
12. c : {c:name-morph(I-[dimension(bx[i1])];[])| (c i2) = 0 ∈ ℕ2} 
13. ((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c) ∈ name-morph(I;[])
14. (((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c) i2) = 0 ∈ ℕ2
⊢ (cube(bx[i1]) c flip(c;i2) (λx.Ax))
= nerve_box_edge1(G;bx;x;i;hd(J);((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c);i2)
∈ (cat-arrow(cat(G)) nerve_box_label(bx;((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c)) 
   nerve_box_label(bx;((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o flip(c;i2))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  G  :  Groupoid
2.  I  :  Cname  List
3.  J  :  nameset(I)  List
4.  x  :  nameset(I)
5.  i  :  \mBbbN{}2
6.  bx  :  open\_box(cubical-nerve(cat(G));I;J;x;i)
7.  \mneg{}\muparrow{}null(J)
8.  (\mforall{}j'\mmember{}J.j'  =  hd(J))
9.  i1  :  \mBbbN{}||bx||
10.  \mforall{}f:name-morph(I-[dimension(bx[i1])];[])
            (((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1]))  o  f)  \mmember{}  name-morph(I;[]))
11.  i@0  :  nameset(I-[dimension(bx[i1])])
12.  c  :  \{c:name-morph(I-[dimension(bx[i1])];[])|  (c  i@0)  =  0\} 
\mvdash{}  (cube(bx[i1])  c  flip(c;i@0)  (\mlambda{}x.Ax))
=  nerve\_box\_edge1(G;bx;x;i;hd(J);((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1]))  o  c);i@0)


By

---

Latex:
(RenameVar  `i2'  (-2)
  THEN  (Assert  ((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1]))  o  c)  \mmember{}  name-morph(I;[])  BY
                          BackThruSomeHyp)
  THEN  (Assert  (((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1]))  o  c)  i2)  =  0  BY
                          (DVar  `c'
                            THEN  DVar  `i2'
                            THEN  RepUR  ``name-comp  face-map``  0
                            THEN  RepeatFor  2  ((RW  ListC  (-4)  THENA  Auto))
                            THEN  (BoolCase  \mkleeneopen{}(i2  =\msubz{}  dimension(bx[i1]))\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
                            THEN  Try  (Complete  ((RepeatFor  2  (D  -5)  THEN  HypSubst'  (-1)  0  THEN  Auto)))
                            THEN  RWO  "uext-ap-name"  0
                            THEN  Auto
                            THEN  MemTypeCD
                            THEN  Auto
                            THEN  RW    ListC  0
                            THEN  Auto)))

---

Home Index