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Step * 2 1 of Lemma poset-functor-extends-box-faces-1


1. G : Groupoid
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. x : nameset(I)
5. i : ℕ2
6. bx : open_box(cubical-nerve(cat(G));I;J;x;i)
7. ¬↑null(J)
8. (∀j'∈J.j' = hd(J) ∈ Cname)
9. i1 : ℕ||bx||
10. ∀f:name-morph(I-[dimension(bx[i1])];[]). (((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o f) ∈ name-morph(I;[]))
11. i2 : nameset(I-[dimension(bx[i1])])
12. c : {c:name-morph(I-[dimension(bx[i1])];[])| (c i2) = 0 ∈ ℕ2} 
13. ((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c) ∈ name-morph(I;[])
14. (((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c) i2) = 0 ∈ ℕ2
⊢ (cube(bx[i1]) c flip(c;i2) (λx.Ax))
= nerve_box_edge1(G;bx;x;i;hd(J);((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c);i2)
∈ (cat-arrow(cat(G)) nerve_box_label(bx;((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c)) 
   nerve_box_label(bx;((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o flip(c;i2))))
BY
{ (RepUR ``nerve_box_edge1`` 0
   THEN Assert ⌜↑((((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c) x =z i) ∨b(¬beq-cname(i2;hd(J))))⌝⋅
   ) }

1
.....assertion..... 
1. G : Groupoid
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. x : nameset(I)
5. i : ℕ2
6. bx : open_box(cubical-nerve(cat(G));I;J;x;i)
7. ¬↑null(J)
8. (∀j'∈J.j' = hd(J) ∈ Cname)
9. i1 : ℕ||bx||
10. ∀f:name-morph(I-[dimension(bx[i1])];[]). (((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o f) ∈ name-morph(I;[]))
11. i2 : nameset(I-[dimension(bx[i1])])
12. c : {c:name-morph(I-[dimension(bx[i1])];[])| (c i2) = 0 ∈ ℕ2} 
13. ((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c) ∈ name-morph(I;[])
14. (((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c) i2) = 0 ∈ ℕ2
⊢ ↑((((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c) x =z i) ∨b(¬beq-cname(i2;hd(J))))

2
1. G : Groupoid
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. x : nameset(I)
5. i : ℕ2
6. bx : open_box(cubical-nerve(cat(G));I;J;x;i)
7. ¬↑null(J)
8. (∀j'∈J.j' = hd(J) ∈ Cname)
9. i1 : ℕ||bx||
10. ∀f:name-morph(I-[dimension(bx[i1])];[]). (((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o f) ∈ name-morph(I;[]))
11. i2 : nameset(I-[dimension(bx[i1])])
12. c : {c:name-morph(I-[dimension(bx[i1])];[])| (c i2) = 0 ∈ ℕ2} 
13. ((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c) ∈ name-morph(I;[])
14. (((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c) i2) = 0 ∈ ℕ2
15. ↑((((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c) x =z i) ∨b(¬beq-cname(i2;hd(J))))
⊢ (cube(bx[i1]) c flip(c;i2) (λx.Ax))
= if (((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c) x =z i) ∨b(¬beq-cname(i2;hd(J)))
    then nerve_box_edge(bx;((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c);i2)
  if (i =z 0)
    then groupoid-square1(G;nerve_box_label(bx;flip(((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c);x));
         nerve_box_label(bx;flip(flip(((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c);x);i2));
         nerve_box_label(bx;((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c));
         nerve_box_label(bx;flip(((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c);i2));
         nerve_box_edge(bx;flip(((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c);x);i2);
         nerve_box_edge(bx;flip(flip(((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c);x);i2);x);
         nerve_box_edge(bx;flip(((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c);x);x))
  else groupoid-square2(G;nerve_box_label(bx;((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c));nerve_box_label(bx;...);
       nerve_box_label(bx;flip(((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c);x));nerve_box_label(bx;flip(...;x));
       nerve_box_edge(bx;flip(((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c);i2);x);
       nerve_box_edge(bx;((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c);x);
       nerve_box_edge(bx;flip(((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c);x);i2))
  fi 
∈ (cat-arrow(cat(G)) nerve_box_label(bx;((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c)) 
   nerve_box_label(bx;((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o flip(c;i2))))

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Latex:

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Latex:

1.  G  :  Groupoid
2.  I  :  Cname  List
3.  J  :  nameset(I)  List
4.  x  :  nameset(I)
5.  i  :  \mBbbN{}2
6.  bx  :  open\_box(cubical-nerve(cat(G));I;J;x;i)
7.  \mneg{}\muparrow{}null(J)
8.  (\mforall{}j'\mmember{}J.j'  =  hd(J))
9.  i1  :  \mBbbN{}||bx||
10.  \mforall{}f:name-morph(I-[dimension(bx[i1])];[])
            (((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1]))  o  f)  \mmember{}  name-morph(I;[]))
11.  i2  :  nameset(I-[dimension(bx[i1])])
12.  c  :  \{c:name-morph(I-[dimension(bx[i1])];[])|  (c  i2)  =  0\} 
13.  ((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1]))  o  c)  \mmember{}  name-morph(I;[])
14.  (((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1]))  o  c)  i2)  =  0
\mvdash{}  (cube(bx[i1])  c  flip(c;i2)  (\mlambda{}x.Ax))
=  nerve\_box\_edge1(G;bx;x;i;hd(J);((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1]))  o  c);i2)


By

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Latex:
(RepUR  ``nerve\_box\_edge1``  0
  THEN  Assert  \mkleeneopen{}\muparrow{}((((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1]))  o  c)  x  =\msubz{}  i)  \mvee{}\msubb{}(\mneg{}\msubb{}eq-cname(i2;hd(J))))\mkleeneclose{}\mcdot{}
  )

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