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of Lemma
poset-functor-extends-box-faces-1
1. G : Groupoid
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. x : nameset(I)
5. i : ℕ2
6. bx : open_box(cubical-nerve(cat(G));I;J;x;i)
7. ¬↑null(J)
8. (∀j'∈J.j' = hd(J) ∈ Cname)
9. i1 : ℕ||bx||
10. ∀f:name-morph(I-[dimension(bx[i1])];[]). (((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o f) ∈ name-morph(I;[]))
11. i2 : nameset(I-[dimension(bx[i1])])
12. c : {c:name-morph(I-[dimension(bx[i1])];[])| (c i2) = 0 ∈ ℕ2}
13. ((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c) ∈ name-morph(I;[])
14. (((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c) i2) = 0 ∈ ℕ2
15. ↑((((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c) x =z i) ∨b(¬beq-cname(i2;hd(J))))
⊢ (cube(bx[i1]) c flip(c;i2) (λx.Ax))
= if (((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c) x =z i) ∨b(¬beq-cname(i2;hd(J)))
then nerve_box_edge(bx;((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c);i2)
if (i =z 0)
then groupoid-square1(G;nerve_box_label(bx;flip(((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c);x));
nerve_box_label(bx;flip(flip(((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c);x);i2));
nerve_box_label(bx;((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c));
nerve_box_label(bx;flip(((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c);i2));
nerve_box_edge(bx;flip(((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c);x);i2);
nerve_box_edge(bx;flip(flip(((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c);x);i2);x);
nerve_box_edge(bx;flip(((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c);x);x))
else groupoid-square2(G;nerve_box_label(bx;((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c));nerve_box_label(bx;...);
nerve_box_label(bx;flip(((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c);x));nerve_box_label(bx;flip(...;x));
nerve_box_edge(bx;flip(((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c);i2);x);
nerve_box_edge(bx;((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c);x);
nerve_box_edge(bx;flip(((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c);x);i2))
fi
∈ (cat-arrow(cat(G)) nerve_box_label(bx;((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c))
nerve_box_label(bx;((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o flip(c;i2))))
BY
{ (BoolCase ⌜(((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c) x =z i) ∨b(¬beq-cname(i2;hd(J)))⌝⋅ THENA Auto) }
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1. G : Groupoid
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. x : nameset(I)
5. i : ℕ2
6. bx : open_box(cubical-nerve(cat(G));I;J;x;i)
7. ¬↑null(J)
8. (∀j'∈J.j' = hd(J) ∈ Cname)
9. i1 : ℕ||bx||
10. ∀f:name-morph(I-[dimension(bx[i1])];[]). (((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o f) ∈ name-morph(I;[]))
11. i2 : nameset(I-[dimension(bx[i1])])
12. c : {c:name-morph(I-[dimension(bx[i1])];[])| (c i2) = 0 ∈ ℕ2}
13. ((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c) ∈ name-morph(I;[])
14. (((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c) i2) = 0 ∈ ℕ2
15. ↑((((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c) x =z i) ∨b(¬beq-cname(i2;hd(J))))
16. ((((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c) x) = i ∈ ℤ) ∨ (¬(i2 = hd(J) ∈ Cname))
⊢ (cube(bx[i1]) c flip(c;i2) (λx.Ax))
= nerve_box_edge(bx;((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c);i2)
∈ (cat-arrow(cat(G)) nerve_box_label(bx;((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c))
nerve_box_label(bx;((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o flip(c;i2))))
Latex:
Latex:
1. G : Groupoid
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. x : nameset(I)
5. i : \mBbbN{}2
6. bx : open\_box(cubical-nerve(cat(G));I;J;x;i)
7. \mneg{}\muparrow{}null(J)
8. (\mforall{}j'\mmember{}J.j' = hd(J))
9. i1 : \mBbbN{}||bx||
10. \mforall{}f:name-morph(I-[dimension(bx[i1])];[])
(((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o f) \mmember{} name-morph(I;[]))
11. i2 : nameset(I-[dimension(bx[i1])])
12. c : \{c:name-morph(I-[dimension(bx[i1])];[])| (c i2) = 0\}
13. ((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c) \mmember{} name-morph(I;[])
14. (((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c) i2) = 0
15. \muparrow{}((((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c) x =\msubz{} i) \mvee{}\msubb{}(\mneg{}\msubb{}eq-cname(i2;hd(J))))
\mvdash{} (cube(bx[i1]) c flip(c;i2) (\mlambda{}x.Ax))
= if (((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c) x =\msubz{} i) \mvee{}\msubb{}(\mneg{}\msubb{}eq-cname(i2;hd(J)))
then nerve\_box\_edge(bx;((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c);i2)
if (i =\msubz{} 0)
then groupoid-square1(G;nerve\_box\_label(bx;flip(((dimension(bx[i1]):=direction(...)) o c);x));
nerve\_box\_label(bx;flip(flip(((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c);x);i2));
nerve\_box\_label(bx;((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c));
nerve\_box\_label(bx;flip(((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c);i2));
nerve\_box\_edge(bx;flip(((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c);x);i2);
nerve\_box\_edge(bx;flip(flip(((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c);x);i2);x);
nerve\_box\_edge(bx;flip(((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c);x);x))
else groupoid-square2(G;nerve\_box\_label(bx;((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c));...;
nerve\_box\_label(bx;flip(((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c);x));...;
nerve\_box\_edge(bx;flip(((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c);i2);x);
nerve\_box\_edge(bx;((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c);x);
nerve\_box\_edge(bx;flip(((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c);x);i2))
fi
By
Latex:
(BoolCase \mkleeneopen{}(((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c) x =\msubz{} i) \mvee{}\msubb{}(\mneg{}\msubb{}eq-cname(i2;hd(J)))\mkleeneclose{}\mcdot{}
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