---

Step * 2 1 3 2 1 of Lemma poset-functor-extends-box-faces

.....subterm..... T:t
2:n
1. G : Groupoid
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. x : nameset(I)
5. i : ℕ2
6. bx : open_box(cubical-nerve(cat(G));I;J;x;i)
7. ¬↑null(J)
8. (∃j1∈J. (∃j2∈J. ¬(j1 = j2 ∈ Cname)))
9. i1 : ℕ||bx||
10. ∀f:name-morph(I-[dimension(bx[i1])];[]). (((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o f) ∈ name-morph(I;[]))
11. i2 : nameset(I-[dimension(bx[i1])])
12. c : {c:name-morph(I-[dimension(bx[i1])];[])| (c i2) = 0 ∈ ℕ2} 
13. ((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c) ∈ name-morph(I;[])
14. (((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c) i2) = 0 ∈ ℕ2
15. (cube(bx[i1]) ((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c) flip(((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c);i2) 
     (λx.Ax))
= nerve_box_edge(bx;((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c);i2)
∈ (cat-arrow(cat(G)) nerve_box_label(bx;((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c)) 
   nerve_box_label(bx;flip(((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c);i2)))
⊢ (cube(bx[i1]) c flip(c;i2) (λx.Ax))
= (cube(bx[i1]) ((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c) flip(((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c);i2) 
   (λx.Ax))
∈ (cat-arrow(cat(G)) nerve_box_label(bx;((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o c)) 
   nerve_box_label(bx;((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1])) o flip(c;i2))))
BY
{ (RepeatFor 3 (Thin (-1))
   THEN RepeatFor 3 (MoveToConcl (-1))
   THEN (GenConclTerm ⌜bx[i1]⌝⋅ THENA Auto)
   THEN RepeatFor 2 (D -2)
   THEN RepUR ``face-dimension face-direction face-cube`` 0) }

1
1. G : Groupoid
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. x : nameset(I)
5. i : ℕ2
6. bx : open_box(cubical-nerve(cat(G));I;J;x;i)
7. ¬↑null(J)
8. (∃j1∈J. (∃j2∈J. ¬(j1 = j2 ∈ Cname)))
9. i1 : ℕ||bx||
10. x1 : nameset(I)
11. v2 : ℕ2
12. v3 : cubical-nerve(cat(G))(I-[x1])
13. bx[i1] = <x1, v2, v3> ∈ I-face(cubical-nerve(cat(G));I)
⊢ (∀f:name-morph(I-[x1];[]). (((x1:=v2) o f) ∈ name-morph(I;[])))
⇒ (∀i2:nameset(I-[x1]). ∀c:{c:name-morph(I-[x1];[])| (c i2) = 0 ∈ ℕ2} .
      ((v3 c flip(c;i2) (λx.Ax))
      = (v3 ((x1:=v2) o c) flip(((x1:=v2) o c);i2) (λx.Ax))
      ∈ (cat-arrow(cat(G)) nerve_box_label(bx;((x1:=v2) o c)) nerve_box_label(bx;((x1:=v2) o flip(c;i2))))))

---

Latex:

---

Latex:
.....subterm.....  T:t
2:n
1.  G  :  Groupoid
2.  I  :  Cname  List
3.  J  :  nameset(I)  List
4.  x  :  nameset(I)
5.  i  :  \mBbbN{}2
6.  bx  :  open\_box(cubical-nerve(cat(G));I;J;x;i)
7.  \mneg{}\muparrow{}null(J)
8.  (\mexists{}j1\mmember{}J.  (\mexists{}j2\mmember{}J.  \mneg{}(j1  =  j2)))
9.  i1  :  \mBbbN{}||bx||
10.  \mforall{}f:name-morph(I-[dimension(bx[i1])];[])
            (((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1]))  o  f)  \mmember{}  name-morph(I;[]))
11.  i2  :  nameset(I-[dimension(bx[i1])])
12.  c  :  \{c:name-morph(I-[dimension(bx[i1])];[])|  (c  i2)  =  0\} 
13.  ((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1]))  o  c)  \mmember{}  name-morph(I;[])
14.  (((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1]))  o  c)  i2)  =  0
15.  (cube(bx[i1])  ((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1]))  o  c) 
          flip(((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1]))  o  c);i2) 
          (\mlambda{}x.Ax))
=  nerve\_box\_edge(bx;((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1]))  o  c);i2)
\mvdash{}  (cube(bx[i1])  c  flip(c;i2)  (\mlambda{}x.Ax))
=  (cube(bx[i1])  ((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1]))  o  c) 
      flip(((dimension(bx[i1]):=direction(bx[i1]))  o  c);i2) 
      (\mlambda{}x.Ax))


By

---

Latex:
(RepeatFor  3  (Thin  (-1))
  THEN  RepeatFor  3  (MoveToConcl  (-1))
  THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}bx[i1]\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  RepeatFor  2  (D  -2)
  THEN  RepUR  ``face-dimension  face-direction  face-cube``  0)

---

Home Index