---

Step * 2 1 3 2 1 1 of Lemma poset-functor-extends-box-faces


1. G : Groupoid
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. x : nameset(I)
5. i : ℕ2
6. bx : open_box(cubical-nerve(cat(G));I;J;x;i)
7. ¬↑null(J)
8. (∃j1∈J. (∃j2∈J. ¬(j1 = j2 ∈ Cname)))
9. i1 : ℕ||bx||
10. x1 : nameset(I)
11. v2 : ℕ2
12. v3 : cubical-nerve(cat(G))(I-[x1])
13. bx[i1] = <x1, v2, v3> ∈ I-face(cubical-nerve(cat(G));I)
⊢ (∀f:name-morph(I-[x1];[]). (((x1:=v2) o f) ∈ name-morph(I;[])))
⇒ (∀i2:nameset(I-[x1]). ∀c:{c:name-morph(I-[x1];[])| (c i2) = 0 ∈ ℕ2} .
      ((v3 c flip(c;i2) (λx.Ax))
      = (v3 ((x1:=v2) o c) flip(((x1:=v2) o c);i2) (λx.Ax))
      ∈ (cat-arrow(cat(G)) nerve_box_label(bx;((x1:=v2) o c)) nerve_box_label(bx;((x1:=v2) o flip(c;i2))))))
BY
{ (RWO "cubical-nerve-I-cube" (-2) THENA Auto) }

1
1. G : Groupoid
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. x : nameset(I)
5. i : ℕ2
6. bx : open_box(cubical-nerve(cat(G));I;J;x;i)
7. ¬↑null(J)
8. (∃j1∈J. (∃j2∈J. ¬(j1 = j2 ∈ Cname)))
9. i1 : ℕ||bx||
10. x1 : nameset(I)
11. v2 : ℕ2
12. v3 : Functor(poset-cat(I-[x1]);cat(G))
13. bx[i1] = <x1, v2, v3> ∈ I-face(cubical-nerve(cat(G));I)
⊢ (∀f:name-morph(I-[x1];[]). (((x1:=v2) o f) ∈ name-morph(I;[])))
⇒ (∀i2:nameset(I-[x1]). ∀c:{c:name-morph(I-[x1];[])| (c i2) = 0 ∈ ℕ2} .
      ((v3 c flip(c;i2) (λx.Ax))
      = (v3 ((x1:=v2) o c) flip(((x1:=v2) o c);i2) (λx.Ax))
      ∈ (cat-arrow(cat(G)) nerve_box_label(bx;((x1:=v2) o c)) nerve_box_label(bx;((x1:=v2) o flip(c;i2))))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  G  :  Groupoid
2.  I  :  Cname  List
3.  J  :  nameset(I)  List
4.  x  :  nameset(I)
5.  i  :  \mBbbN{}2
6.  bx  :  open\_box(cubical-nerve(cat(G));I;J;x;i)
7.  \mneg{}\muparrow{}null(J)
8.  (\mexists{}j1\mmember{}J.  (\mexists{}j2\mmember{}J.  \mneg{}(j1  =  j2)))
9.  i1  :  \mBbbN{}||bx||
10.  x1  :  nameset(I)
11.  v2  :  \mBbbN{}2
12.  v3  :  cubical-nerve(cat(G))(I-[x1])
13.  bx[i1]  =  <x1,  v2,  v3>
\mvdash{}  (\mforall{}f:name-morph(I-[x1];[]).  (((x1:=v2)  o  f)  \mmember{}  name-morph(I;[])))
{}\mRightarrow{}  (\mforall{}i2:nameset(I-[x1]).  \mforall{}c:\{c:name-morph(I-[x1];[])|  (c  i2)  =  0\}  .
            ((v3  c  flip(c;i2)  (\mlambda{}x.Ax))  =  (v3  ((x1:=v2)  o  c)  flip(((x1:=v2)  o  c);i2)  (\mlambda{}x.Ax))))


By

---

Latex:
(RWO  "cubical-nerve-I-cube"  (-2)  THENA  Auto)

---

Home Index