---

Step * 1 1 2 2 1 of Lemma poset_functor_extend-face-map1


1. C : SmallCategory
2. I : Cname List
3. L : name-morph(I;[]) ⟶ cat-ob(C)
4. E : i:nameset(I) ⟶ c:{c:name-morph(I;[])| (c i) = 0 ∈ ℕ2}  ⟶ (cat-arrow(C) (L c) (L flip(c;i)))
5. y : nameset(I)
6. a : ℕ2
7. n : ℕ
8. ∀n:ℕn
     ∀[c1,c2:name-morph(I;[])].
       ((||filter(λx.((c1 x =z 0) ∧b (c2 x =z 1));I)|| ≤ n)
       ⇒ poset_functor_extend(C;I;L;E;((y:=a) o c1);((y:=a) o c2))
          = poset_functor_extend(C;I-[y];L o (λf.((y:=a) o f));λz,f. (E z ((y:=a) o f));c1;c2)
          ∈ (cat-arrow(C) (L ((y:=a) o c1)) (L ((y:=a) o c2))) 
          supposing ∀x:nameset(I). ((c1 x) ≤ (c2 x)))
9. c1 : name-morph(I;[])
10. c2 : name-morph(I;[])
11. ¬(filter(λx.((c1 x =z 0) ∧b (c2 x =z 1));I-[y]) = [] ∈ (nameset(I) List))
12. ||filter(λx.((c1 x =z 0) ∧b (c2 x =z 1));I)|| ≤ n
13. ∀x:nameset(I). ((c1 x) ≤ (c2 x))
14. I ∈ nameset(I) List
15. CnameDeq ∈ EqDecider(nameset(I))
16. ((y:=a) o c1) ∈ name-morph(I;[])
17. ((y:=a) o c2) ∈ name-morph(I;[])
18. filter(λx.((c1 x =z 0) ∧b (c2 x =z 1));I-[y]) ∈ {x:nameset(I)| ↑((c1 x =z 0) ∧b (c2 x =z 1))}  List
19. v : {x:nameset(I)| ↑((c1 x =z 0) ∧b (c2 x =z 1))} 
20. hd(filter(λx.((c1 x =z 0) ∧b (c2 x =z 1));I-[y])) = v ∈ {x:nameset(I)| ↑((c1 x =z 0) ∧b (c2 x =z 1))} 
⊢ (cat-comp(C) (L ((y:=a) o c1)) (L flip(((y:=a) o c1);v)) (L ((y:=a) o c2)) (E v ((y:=a) o c1)) 
   poset_functor_extend(C;I;L;E;flip(((y:=a) o c1);v);((y:=a) o c2)))
= (cat-comp(C) (L ((y:=a) o c1)) (L ((y:=a) o flip(c1;v))) (L ((y:=a) o c2)) (E v ((y:=a) o c1)) 
   poset_functor_extend(C;I-[y];L o (λf.((y:=a) o f));λz,f. (E z ((y:=a) o f));flip(c1;v);c2))
∈ (cat-arrow(C) (L ((y:=a) o c1)) (L ((y:=a) o c2)))
BY
{ (D -2 THEN RW  assert_pushdownC  (-2) THEN Auto) }

1
1. C : SmallCategory
2. I : Cname List
3. L : name-morph(I;[]) ⟶ cat-ob(C)
4. E : i:nameset(I) ⟶ c:{c:name-morph(I;[])| (c i) = 0 ∈ ℕ2}  ⟶ (cat-arrow(C) (L c) (L flip(c;i)))
5. y : nameset(I)
6. a : ℕ2
7. n : ℕ
8. ∀n:ℕn
     ∀[c1,c2:name-morph(I;[])].
       ((||filter(λx.((c1 x =z 0) ∧b (c2 x =z 1));I)|| ≤ n)
       ⇒ poset_functor_extend(C;I;L;E;((y:=a) o c1);((y:=a) o c2))
          = poset_functor_extend(C;I-[y];L o (λf.((y:=a) o f));λz,f. (E z ((y:=a) o f));c1;c2)
          ∈ (cat-arrow(C) (L ((y:=a) o c1)) (L ((y:=a) o c2))) 
          supposing ∀x:nameset(I). ((c1 x) ≤ (c2 x)))
9. c1 : name-morph(I;[])
10. c2 : name-morph(I;[])
11. ¬(filter(λx.((c1 x =z 0) ∧b (c2 x =z 1));I-[y]) = [] ∈ (nameset(I) List))
12. ||filter(λx.((c1 x =z 0) ∧b (c2 x =z 1));I)|| ≤ n
13. ∀x:nameset(I). ((c1 x) ≤ (c2 x))
14. I ∈ nameset(I) List
15. CnameDeq ∈ EqDecider(nameset(I))
16. ((y:=a) o c1) ∈ name-morph(I;[])
17. ((y:=a) o c2) ∈ name-morph(I;[])
18. filter(λx.((c1 x =z 0) ∧b (c2 x =z 1));I-[y]) ∈ {x:nameset(I)| ↑((c1 x =z 0) ∧b (c2 x =z 1))}  List
19. v : nameset(I)
20. (c1 v) = 0 ∈ ℤ
21. (c2 v) = 1 ∈ ℤ
22. hd(filter(λx.((c1 x =z 0) ∧b (c2 x =z 1));I-[y])) = v ∈ {x:nameset(I)| ↑((c1 x =z 0) ∧b (c2 x =z 1))} 
⊢ (cat-comp(C) (L ((y:=a) o c1)) (L flip(((y:=a) o c1);v)) (L ((y:=a) o c2)) (E v ((y:=a) o c1)) 
   poset_functor_extend(C;I;L;E;flip(((y:=a) o c1);v);((y:=a) o c2)))
= (cat-comp(C) (L ((y:=a) o c1)) (L ((y:=a) o flip(c1;v))) (L ((y:=a) o c2)) (E v ((y:=a) o c1)) 
   poset_functor_extend(C;I-[y];L o (λf.((y:=a) o f));λz,f. (E z ((y:=a) o f));flip(c1;v);c2))
∈ (cat-arrow(C) (L ((y:=a) o c1)) (L ((y:=a) o c2)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  C  :  SmallCategory
2.  I  :  Cname  List
3.  L  :  name-morph(I;[])  {}\mrightarrow{}  cat-ob(C)
4.  E  :  i:nameset(I)  {}\mrightarrow{}  c:\{c:name-morph(I;[])|  (c  i)  =  0\}    {}\mrightarrow{}  (cat-arrow(C)  (L  c)  (L  flip(c;i)))
5.  y  :  nameset(I)
6.  a  :  \mBbbN{}2
7.  n  :  \mBbbN{}
8.  \mforall{}n:\mBbbN{}n
          \mforall{}[c1,c2:name-morph(I;[])].
              ((||filter(\mlambda{}x.((c1  x  =\msubz{}  0)  \mwedge{}\msubb{}  (c2  x  =\msubz{}  1));I)||  \mleq{}  n)
              {}\mRightarrow{}  poset\_functor\_extend(C;I;L;E;((y:=a)  o  c1);((y:=a)  o  c2))
                    =  poset\_functor\_extend(C;I-[y];L  o  (\mlambda{}f.((y:=a)  o  f));\mlambda{}z,f.  (E  z  ((y:=a)  o  f));c1;c2) 
                    supposing  \mforall{}x:nameset(I).  ((c1  x)  \mleq{}  (c2  x)))
9.  c1  :  name-morph(I;[])
10.  c2  :  name-morph(I;[])
11.  \mneg{}(filter(\mlambda{}x.((c1  x  =\msubz{}  0)  \mwedge{}\msubb{}  (c2  x  =\msubz{}  1));I-[y])  =  [])
12.  ||filter(\mlambda{}x.((c1  x  =\msubz{}  0)  \mwedge{}\msubb{}  (c2  x  =\msubz{}  1));I)||  \mleq{}  n
13.  \mforall{}x:nameset(I).  ((c1  x)  \mleq{}  (c2  x))
14.  I  \mmember{}  nameset(I)  List
15.  CnameDeq  \mmember{}  EqDecider(nameset(I))
16.  ((y:=a)  o  c1)  \mmember{}  name-morph(I;[])
17.  ((y:=a)  o  c2)  \mmember{}  name-morph(I;[])
18.  filter(\mlambda{}x.((c1  x  =\msubz{}  0)  \mwedge{}\msubb{}  (c2  x  =\msubz{}  1));I-[y])  \mmember{}  \{x:nameset(I)|  \muparrow{}((c1  x  =\msubz{}  0)  \mwedge{}\msubb{}  (c2  x  =\msubz{}  1))\}    L\000Cist
19.  v  :  \{x:nameset(I)|  \muparrow{}((c1  x  =\msubz{}  0)  \mwedge{}\msubb{}  (c2  x  =\msubz{}  1))\} 
20.  hd(filter(\mlambda{}x.((c1  x  =\msubz{}  0)  \mwedge{}\msubb{}  (c2  x  =\msubz{}  1));I-[y]))  =  v
\mvdash{}  (cat-comp(C)  (L  ((y:=a)  o  c1))  (L  flip(((y:=a)  o  c1);v))  (L  ((y:=a)  o  c2))  (E  v  ((y:=a)  o  c1)) 
      poset\_functor\_extend(C;I;L;E;flip(((y:=a)  o  c1);v);((y:=a)  o  c2)))
=  (cat-comp(C)  (L  ((y:=a)  o  c1))  (L  ((y:=a)  o  flip(c1;v)))  (L  ((y:=a)  o  c2))  (E  v  ((y:=a)  o  c1)) 
      poset\_functor\_extend(C;I-[y];L  o  (\mlambda{}f.((y:=a)  o  f));\mlambda{}z,f.  (E  z  ((y:=a)  o  f));flip(c1;v);c2))


By

---

Latex:
(D  -2  THEN  RW    assert\_pushdownC    (-2)  THEN  Auto)

---

Home Index