---

Step * 2 1 of Lemma poset_functor_extend-is-functor


1. C : SmallCategory
2. I : Cname List
3. L : name-morph(I;[]) ⟶ cat-ob(C)
4. E : i:nameset(I) ⟶ c:{c:name-morph(I;[])| (c i) = 0 ∈ ℕ2}  ⟶ (cat-arrow(C) (L c) (L flip(c;i)))
5. edge-arrows-commute(C;I;L;E)
6. ∀x:cat-ob(poset-cat(I)). (poset_functor_extend(C;I;L;E;x;x) = (cat-id(C) (L x)) ∈ (cat-arrow(C) (L x) (L x)))
⊢ ∀x,y,z:cat-ob(poset-cat(I)). ∀f:cat-arrow(poset-cat(I)) x y. ∀g:cat-arrow(poset-cat(I)) y z.
    (poset_functor_extend(C;I;L;E;x;z)
    = (cat-comp(C) (L x) (L y) (L z) poset_functor_extend(C;I;L;E;x;y) poset_functor_extend(C;I;L;E;y;z))
    ∈ (cat-arrow(C) (L x) (L z)))
BY
{ (Assert ⌜∀d:ℕ. ∀x,y,z:cat-ob(poset-cat(I)).
             ((poset-cat-dist(I;x;z) ≤ d)
             ⇒ (∀f:cat-arrow(poset-cat(I)) x y. ∀g:cat-arrow(poset-cat(I)) y z.
                   (poset_functor_extend(C;I;L;E;x;z)
                   = (cat-comp(C) (L x) (L y) (L z) poset_functor_extend(C;I;L;E;x;y) poset_functor_extend(C;I;L;E;y;z))
                   ∈ (cat-arrow(C) (L x) (L z)))))⌝⋅
THENM ((UnivCD THENA Auto) THEN InstHyp [⌜poset-cat-dist(I;x;z)⌝;⌜x⌝;⌜y⌝;⌜z⌝;⌜f⌝;⌜g⌝] 7⋅ THEN Auto)
) }

1
.....assertion..... 
1. C : SmallCategory
2. I : Cname List
3. L : name-morph(I;[]) ⟶ cat-ob(C)
4. E : i:nameset(I) ⟶ c:{c:name-morph(I;[])| (c i) = 0 ∈ ℕ2}  ⟶ (cat-arrow(C) (L c) (L flip(c;i)))
5. edge-arrows-commute(C;I;L;E)
6. ∀x:cat-ob(poset-cat(I)). (poset_functor_extend(C;I;L;E;x;x) = (cat-id(C) (L x)) ∈ (cat-arrow(C) (L x) (L x)))
⊢ ∀d:ℕ. ∀x,y,z:cat-ob(poset-cat(I)).
    ((poset-cat-dist(I;x;z) ≤ d)
    ⇒ (∀f:cat-arrow(poset-cat(I)) x y. ∀g:cat-arrow(poset-cat(I)) y z.
          (poset_functor_extend(C;I;L;E;x;z)
          = (cat-comp(C) (L x) (L y) (L z) poset_functor_extend(C;I;L;E;x;y) poset_functor_extend(C;I;L;E;y;z))
          ∈ (cat-arrow(C) (L x) (L z)))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  C  :  SmallCategory
2.  I  :  Cname  List
3.  L  :  name-morph(I;[])  {}\mrightarrow{}  cat-ob(C)
4.  E  :  i:nameset(I)  {}\mrightarrow{}  c:\{c:name-morph(I;[])|  (c  i)  =  0\}    {}\mrightarrow{}  (cat-arrow(C)  (L  c)  (L  flip(c;i)))
5.  edge-arrows-commute(C;I;L;E)
6.  \mforall{}x:cat-ob(poset-cat(I)).  (poset\_functor\_extend(C;I;L;E;x;x)  =  (cat-id(C)  (L  x)))
\mvdash{}  \mforall{}x,y,z:cat-ob(poset-cat(I)).  \mforall{}f:cat-arrow(poset-cat(I))  x  y.  \mforall{}g:cat-arrow(poset-cat(I))  y  z.
        (poset\_functor\_extend(C;I;L;E;x;z)
        =  (cat-comp(C)  (L  x)  (L  y)  (L  z)  poset\_functor\_extend(C;I;L;E;x;y) 
              poset\_functor\_extend(C;I;L;E;y;z)))


By

---

Latex:
(Assert  \mkleeneopen{}\mforall{}d:\mBbbN{}.  \mforall{}x,y,z:cat-ob(poset-cat(I)).
                      ((poset-cat-dist(I;x;z)  \mleq{}  d)
                      {}\mRightarrow{}  (\mforall{}f:cat-arrow(poset-cat(I))  x  y.  \mforall{}g:cat-arrow(poset-cat(I))  y  z.
                                  (poset\_functor\_extend(C;I;L;E;x;z)
                                  =  (cat-comp(C)  (L  x)  (L  y)  (L  z)  poset\_functor\_extend(C;I;L;E;x;y) 
                                        poset\_functor\_extend(C;I;L;E;y;z)))))\mkleeneclose{}\mcdot{}
THENM  ((UnivCD  THENA  Auto)  THEN  InstHyp  [\mkleeneopen{}poset-cat-dist(I;x;z)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}y\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}z\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}g\mkleeneclose{}]  7\mcdot{}  THEN  Auto)
)

---

Home Index