---

Step * 2 1 1 of Lemma poset_functor_extend-is-functor

.....assertion..... 
1. C : SmallCategory
2. I : Cname List
3. L : name-morph(I;[]) ⟶ cat-ob(C)
4. E : i:nameset(I) ⟶ c:{c:name-morph(I;[])| (c i) = 0 ∈ ℕ2}  ⟶ (cat-arrow(C) (L c) (L flip(c;i)))
5. edge-arrows-commute(C;I;L;E)
6. ∀x:cat-ob(poset-cat(I)). (poset_functor_extend(C;I;L;E;x;x) = (cat-id(C) (L x)) ∈ (cat-arrow(C) (L x) (L x)))
⊢ ∀d:ℕ. ∀x,y,z:cat-ob(poset-cat(I)).
    ((poset-cat-dist(I;x;z) ≤ d)
    ⇒ (∀f:cat-arrow(poset-cat(I)) x y. ∀g:cat-arrow(poset-cat(I)) y z.
          (poset_functor_extend(C;I;L;E;x;z)
          = (cat-comp(C) (L x) (L y) (L z) poset_functor_extend(C;I;L;E;x;y) poset_functor_extend(C;I;L;E;y;z))
          ∈ (cat-arrow(C) (L x) (L z)))))
BY
{ (InductionOnNat THEN Auto) }

1
1. C : SmallCategory
2. I : Cname List
3. L : name-morph(I;[]) ⟶ cat-ob(C)
4. E : i:nameset(I) ⟶ c:{c:name-morph(I;[])| (c i) = 0 ∈ ℕ2}  ⟶ (cat-arrow(C) (L c) (L flip(c;i)))
5. edge-arrows-commute(C;I;L;E)
6. ∀x:cat-ob(poset-cat(I)). (poset_functor_extend(C;I;L;E;x;x) = (cat-id(C) (L x)) ∈ (cat-arrow(C) (L x) (L x)))
7. d : ℤ
8. x : cat-ob(poset-cat(I))
9. y : cat-ob(poset-cat(I))
10. z : cat-ob(poset-cat(I))
11. poset-cat-dist(I;x;z) ≤ 0
12. f : cat-arrow(poset-cat(I)) x y
13. g : cat-arrow(poset-cat(I)) y z
⊢ poset_functor_extend(C;I;L;E;x;z)
= (cat-comp(C) (L x) (L y) (L z) poset_functor_extend(C;I;L;E;x;y) poset_functor_extend(C;I;L;E;y;z))
∈ (cat-arrow(C) (L x) (L z))

2
1. C : SmallCategory
2. I : Cname List
3. L : name-morph(I;[]) ⟶ cat-ob(C)
4. E : i:nameset(I) ⟶ c:{c:name-morph(I;[])| (c i) = 0 ∈ ℕ2}  ⟶ (cat-arrow(C) (L c) (L flip(c;i)))
5. edge-arrows-commute(C;I;L;E)
6. ∀x:cat-ob(poset-cat(I)). (poset_functor_extend(C;I;L;E;x;x) = (cat-id(C) (L x)) ∈ (cat-arrow(C) (L x) (L x)))
7. d : ℤ
8. 0 < d
9. ∀x,y,z:cat-ob(poset-cat(I)).
     ((poset-cat-dist(I;x;z) ≤ (d - 1))
     ⇒ (∀f:cat-arrow(poset-cat(I)) x y. ∀g:cat-arrow(poset-cat(I)) y z.
           (poset_functor_extend(C;I;L;E;x;z)
           = (cat-comp(C) (L x) (L y) (L z) poset_functor_extend(C;I;L;E;x;y) poset_functor_extend(C;I;L;E;y;z))
           ∈ (cat-arrow(C) (L x) (L z)))))
10. x : cat-ob(poset-cat(I))
11. y : cat-ob(poset-cat(I))
12. z : cat-ob(poset-cat(I))
13. poset-cat-dist(I;x;z) ≤ d
14. f : cat-arrow(poset-cat(I)) x y
15. g : cat-arrow(poset-cat(I)) y z
⊢ poset_functor_extend(C;I;L;E;x;z)
= (cat-comp(C) (L x) (L y) (L z) poset_functor_extend(C;I;L;E;x;y) poset_functor_extend(C;I;L;E;y;z))
∈ (cat-arrow(C) (L x) (L z))

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  C  :  SmallCategory
2.  I  :  Cname  List
3.  L  :  name-morph(I;[])  {}\mrightarrow{}  cat-ob(C)
4.  E  :  i:nameset(I)  {}\mrightarrow{}  c:\{c:name-morph(I;[])|  (c  i)  =  0\}    {}\mrightarrow{}  (cat-arrow(C)  (L  c)  (L  flip(c;i)))
5.  edge-arrows-commute(C;I;L;E)
6.  \mforall{}x:cat-ob(poset-cat(I)).  (poset\_functor\_extend(C;I;L;E;x;x)  =  (cat-id(C)  (L  x)))
\mvdash{}  \mforall{}d:\mBbbN{}.  \mforall{}x,y,z:cat-ob(poset-cat(I)).
        ((poset-cat-dist(I;x;z)  \mleq{}  d)
        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}f:cat-arrow(poset-cat(I))  x  y.  \mforall{}g:cat-arrow(poset-cat(I))  y  z.
                    (poset\_functor\_extend(C;I;L;E;x;z)
                    =  (cat-comp(C)  (L  x)  (L  y)  (L  z)  poset\_functor\_extend(C;I;L;E;x;y) 
                          poset\_functor\_extend(C;I;L;E;y;z)))))


By

---

Latex:
(InductionOnNat  THEN  Auto)

---

Home Index