---

Step * 2 1 1 1 of Lemma poset_functor_extend-is-functor


1. C : SmallCategory
2. I : Cname List
3. L : name-morph(I;[]) ⟶ cat-ob(C)
4. E : i:nameset(I) ⟶ c:{c:name-morph(I;[])| (c i) = 0 ∈ ℕ2}  ⟶ (cat-arrow(C) (L c) (L flip(c;i)))
5. edge-arrows-commute(C;I;L;E)
6. ∀x:cat-ob(poset-cat(I)). (poset_functor_extend(C;I;L;E;x;x) = (cat-id(C) (L x)) ∈ (cat-arrow(C) (L x) (L x)))
7. d : ℤ
8. x : cat-ob(poset-cat(I))
9. y : cat-ob(poset-cat(I))
10. z : cat-ob(poset-cat(I))
11. poset-cat-dist(I;x;z) ≤ 0
12. f : cat-arrow(poset-cat(I)) x y
13. g : cat-arrow(poset-cat(I)) y z
⊢ poset_functor_extend(C;I;L;E;x;z)
= (cat-comp(C) (L x) (L y) (L z) poset_functor_extend(C;I;L;E;x;y) poset_functor_extend(C;I;L;E;y;z))
∈ (cat-arrow(C) (L x) (L z))
BY
{ TACTIC:((InstLemma `poset-cat-dist-add` [⌜I⌝;⌜x⌝;⌜y⌝;⌜z⌝]⋅ THENA Auto)
          THEN (Assert (poset-cat-dist(I;x;y) ≤ 0) ∧ (poset-cat-dist(I;y;z) ≤ 0) BY
                      Auto')
          THEN D -1
          THEN RepeatFor 2 ((FLemma `poset-cat-dist-zero` [-2] THENA Auto))
          THEN RWO "poset_functor_extend_same" 0
          THEN Auto) }

1
1. C : SmallCategory
2. I : Cname List
3. L : name-morph(I;[]) ⟶ cat-ob(C)
4. E : i:nameset(I) ⟶ c:{c:name-morph(I;[])| (c i) = 0 ∈ ℕ2}  ⟶ (cat-arrow(C) (L c) (L flip(c;i)))
5. edge-arrows-commute(C;I;L;E)
6. ∀x:cat-ob(poset-cat(I)). (poset_functor_extend(C;I;L;E;x;x) = (cat-id(C) (L x)) ∈ (cat-arrow(C) (L x) (L x)))
7. d : ℤ
8. x : cat-ob(poset-cat(I))
9. y : cat-ob(poset-cat(I))
10. z : cat-ob(poset-cat(I))
11. poset-cat-dist(I;x;z) ≤ 0
12. f : cat-arrow(poset-cat(I)) x y
13. g : cat-arrow(poset-cat(I)) y z
14. poset-cat-dist(I;x;z) = (poset-cat-dist(I;x;y) + poset-cat-dist(I;y;z)) ∈ ℤ
15. poset-cat-dist(I;x;y) ≤ 0
16. poset-cat-dist(I;y;z) ≤ 0
17. x = y ∈ cat-ob(poset-cat(I))
18. y = z ∈ cat-ob(poset-cat(I))
⊢ (cat-id(C) (L x)) = (cat-comp(C) (L x) (L y) (L z) (cat-id(C) (L x)) (cat-id(C) (L y))) ∈ (cat-arrow(C) (L x) (L z))

---

Latex:

---

Latex:

1.  C  :  SmallCategory
2.  I  :  Cname  List
3.  L  :  name-morph(I;[])  {}\mrightarrow{}  cat-ob(C)
4.  E  :  i:nameset(I)  {}\mrightarrow{}  c:\{c:name-morph(I;[])|  (c  i)  =  0\}    {}\mrightarrow{}  (cat-arrow(C)  (L  c)  (L  flip(c;i)))
5.  edge-arrows-commute(C;I;L;E)
6.  \mforall{}x:cat-ob(poset-cat(I)).  (poset\_functor\_extend(C;I;L;E;x;x)  =  (cat-id(C)  (L  x)))
7.  d  :  \mBbbZ{}
8.  x  :  cat-ob(poset-cat(I))
9.  y  :  cat-ob(poset-cat(I))
10.  z  :  cat-ob(poset-cat(I))
11.  poset-cat-dist(I;x;z)  \mleq{}  0
12.  f  :  cat-arrow(poset-cat(I))  x  y
13.  g  :  cat-arrow(poset-cat(I))  y  z
\mvdash{}  poset\_functor\_extend(C;I;L;E;x;z)
=  (cat-comp(C)  (L  x)  (L  y)  (L  z)  poset\_functor\_extend(C;I;L;E;x;y) 
      poset\_functor\_extend(C;I;L;E;y;z))


By

---

Latex:
TACTIC:((InstLemma  `poset-cat-dist-add`  [\mkleeneopen{}I\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}y\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}z\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
                THEN  (Assert  (poset-cat-dist(I;x;y)  \mleq{}  0)  \mwedge{}  (poset-cat-dist(I;y;z)  \mleq{}  0)  BY
                                        Auto')
                THEN  D  -1
                THEN  RepeatFor  2  ((FLemma  `poset-cat-dist-zero`  [-2]  THENA  Auto))
                THEN  RWO  "poset\_functor\_extend\_same"  0
                THEN  Auto)

---

Home Index