---

Step * 1 1 of Lemma poset_functor_extend_wf


1. C : SmallCategory
2. I : Cname List
3. L : name-morph(I;[]) ⟶ cat-ob(C)
4. E : i:nameset(I) ⟶ c:{c:name-morph(I;[])| (c i) = 0 ∈ ℕ2}  ⟶ (cat-arrow(C) (L c) (L flip(c;i)))
5. n : ℕ
6. ∀n:ℕn
     ∀[c1,c2:name-morph(I;[])].
       ((||filter(λx.((c1 x =z 0) ∧b (c2 x =z 1));I)|| ≤ n)
       ⇒ poset_functor_extend(C;I;L;E;c1;c2) ∈ cat-arrow(C) (L c1) (L c2) supposing ∀x:nameset(I). ((c1 x) ≤ (c2 x)))
7. c1 : name-morph(I;[])
8. c2 : name-morph(I;[])
9. ||filter(λx.((c1 x =z 0) ∧b (c2 x =z 1));I)|| ≤ n
10. ∀x:nameset(I). ((c1 x) ≤ (c2 x))
11. filter(λx.((c1 x =z 0) ∧b (c2 x =z 1));I) = [] ∈ (Cname List)
⊢ cat-id(C) (L c1) ∈ cat-arrow(C) (L c1) (L c2)
BY
{ ((InferEqualType THEN Auto)
   THEN RepeatFor 2 ((EqCD THEN Auto))
   THEN (BLemma `name-morph-ext` THENA Auto)
   THEN ParallelOp -2) }

1
1. C : SmallCategory
2. I : Cname List
3. L : name-morph(I;[]) ⟶ cat-ob(C)
4. E : i:nameset(I) ⟶ c:{c:name-morph(I;[])| (c i) = 0 ∈ ℕ2}  ⟶ (cat-arrow(C) (L c) (L flip(c;i)))
5. n : ℕ
6. ∀n:ℕn
     ∀[c1,c2:name-morph(I;[])].
       ((||filter(λx.((c1 x =z 0) ∧b (c2 x =z 1));I)|| ≤ n)
       ⇒ poset_functor_extend(C;I;L;E;c1;c2) ∈ cat-arrow(C) (L c1) (L c2) supposing ∀x:nameset(I). ((c1 x) ≤ (c2 x)))
7. c1 : name-morph(I;[])
8. c2 : name-morph(I;[])
9. ||filter(λx.((c1 x =z 0) ∧b (c2 x =z 1));I)|| ≤ n
10. ∀x:nameset(I). ((c1 x) ≤ (c2 x))
11. filter(λx.((c1 x =z 0) ∧b (c2 x =z 1));I) = [] ∈ (Cname List)
12. x : nameset(I)
13. (c1 x) ≤ (c2 x)
⊢ (c1 x) = (c2 x) ∈ extd-nameset([])

---

Latex:

---

Latex:

1.  C  :  SmallCategory
2.  I  :  Cname  List
3.  L  :  name-morph(I;[])  {}\mrightarrow{}  cat-ob(C)
4.  E  :  i:nameset(I)  {}\mrightarrow{}  c:\{c:name-morph(I;[])|  (c  i)  =  0\}    {}\mrightarrow{}  (cat-arrow(C)  (L  c)  (L  flip(c;i)))
5.  n  :  \mBbbN{}
6.  \mforall{}n:\mBbbN{}n
          \mforall{}[c1,c2:name-morph(I;[])].
              ((||filter(\mlambda{}x.((c1  x  =\msubz{}  0)  \mwedge{}\msubb{}  (c2  x  =\msubz{}  1));I)||  \mleq{}  n)
              {}\mRightarrow{}  poset\_functor\_extend(C;I;L;E;c1;c2)  \mmember{}  cat-arrow(C)  (L  c1)  (L  c2) 
                    supposing  \mforall{}x:nameset(I).  ((c1  x)  \mleq{}  (c2  x)))
7.  c1  :  name-morph(I;[])
8.  c2  :  name-morph(I;[])
9.  ||filter(\mlambda{}x.((c1  x  =\msubz{}  0)  \mwedge{}\msubb{}  (c2  x  =\msubz{}  1));I)||  \mleq{}  n
10.  \mforall{}x:nameset(I).  ((c1  x)  \mleq{}  (c2  x))
11.  filter(\mlambda{}x.((c1  x  =\msubz{}  0)  \mwedge{}\msubb{}  (c2  x  =\msubz{}  1));I)  =  []
\mvdash{}  cat-id(C)  (L  c1)  \mmember{}  cat-arrow(C)  (L  c1)  (L  c2)


By

---

Latex:
((InferEqualType  THEN  Auto)
  THEN  RepeatFor  2  ((EqCD  THEN  Auto))
  THEN  (BLemma  `name-morph-ext`  THENA  Auto)
  THEN  ParallelOp  -2)

---

Home Index