---

Step * of Lemma same-face-edge-arrows-commute2

∀[C:SmallCategory]. ∀[I:Cname List]. ∀[J:nameset(I) List].
  ∀[x:nameset(I)]. ∀[i:ℕ2]. ∀[box:open_box(cubical-nerve(C);I;J;x;i)].
    ∀f:name-morph(I;[]). ∀a,b:nameset(I).
      ∀[v:I-face(cubical-nerve(C);I)]
        ((cat-comp(C) nerve_box_label(box;f) nerve_box_label(box;flip(f;a)) nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);b)) 
          nerve_box_edge(box;f;a) 
          nerve_box_edge(box;flip(f;a);b))
           = (cat-comp(C) nerve_box_label(box;f) nerve_box_label(box;flip(f;b)) nerve_box_label(box;flip(flip(f;b);a)) 
              nerve_box_edge(box;f;b) 
              nerve_box_edge(box;flip(f;b);a))
           ∈ (cat-arrow(C) nerve_box_label(box;f) nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);b)))) supposing 
           ((v ∈ box) and 
           (¬(dimension(v) = b ∈ Cname)) and 
           (¬(dimension(v) = a ∈ Cname)) and 
           (¬(a = b ∈ nameset(I))) and 
           ((f b) = 0 ∈ ℕ2) and 
           (((f a) = 0 ∈ ℕ2) ∧ (direction(v) = (f dimension(v)) ∈ ℕ2))) 
  supposing (∃j1∈J. (∃j2∈J. ¬(j1 = j2 ∈ Cname)))
BY
{ (InstLemma `same-face-edge-arrows-commute1` []
   THEN RepeatFor 3 (ParallelLast')
   THEN (D 0 THENA Auto)
   THEN PromoteHyp (-1) (-2)
   THEN RepeatFor 6 (ParallelLast')
   THEN D -1
   THEN Auto) }

1
1. C : SmallCategory
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. (∃j1∈J. (∃j2∈J. ¬(j1 = j2 ∈ Cname)))
5. x : nameset(I)
6. i : ℕ2
7. box : open_box(cubical-nerve(C);I;J;x;i)
8. f : name-morph(I;[])
9. a : nameset(I)
10. b : nameset(I)
⊢ (∃j1∈J. ¬(j1 = a ∈ Cname))

2
1. C : SmallCategory
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. (∃j1∈J. (∃j2∈J. ¬(j1 = j2 ∈ Cname)))
5. x : nameset(I)
6. i : ℕ2
7. box : open_box(cubical-nerve(C);I;J;x;i)
8. f : name-morph(I;[])
9. a : nameset(I)
10. b : nameset(I)
11. (∃j1∈J. ¬(j1 = a ∈ Cname))
⊢ (∃j2∈J. ¬(j2 = b ∈ Cname))

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}[C:SmallCategory].  \mforall{}[I:Cname  List].  \mforall{}[J:nameset(I)  List].
    \mforall{}[x:nameset(I)].  \mforall{}[i:\mBbbN{}2].  \mforall{}[box:open\_box(cubical-nerve(C);I;J;x;i)].
        \mforall{}f:name-morph(I;[]).  \mforall{}a,b:nameset(I).
            \mforall{}[v:I-face(cubical-nerve(C);I)]
                ((cat-comp(C)  nerve\_box\_label(box;f)  nerve\_box\_label(box;flip(f;a)) 
                    nerve\_box\_label(box;flip(flip(f;a);b)) 
                    nerve\_box\_edge(box;f;a) 
                    nerve\_box\_edge(box;flip(f;a);b))
                      =  (cat-comp(C)  nerve\_box\_label(box;f)  nerve\_box\_label(box;flip(f;b)) 
                            nerve\_box\_label(box;flip(flip(f;b);a)) 
                            nerve\_box\_edge(box;f;b) 
                            nerve\_box\_edge(box;flip(f;b);a)))  supposing 
                      ((v  \mmember{}  box)  and 
                      (\mneg{}(dimension(v)  =  b))  and 
                      (\mneg{}(dimension(v)  =  a))  and 
                      (\mneg{}(a  =  b))  and 
                      ((f  b)  =  0)  and 
                      (((f  a)  =  0)  \mwedge{}  (direction(v)  =  (f  dimension(v))))) 
    supposing  (\mexists{}j1\mmember{}J.  (\mexists{}j2\mmember{}J.  \mneg{}(j1  =  j2)))


By

---

Latex:
(InstLemma  `same-face-edge-arrows-commute1`  []
  THEN  RepeatFor  3  (ParallelLast')
  THEN  (D  0  THENA  Auto)
  THEN  PromoteHyp  (-1)  (-2)
  THEN  RepeatFor  6  (ParallelLast')
  THEN  D  -1
  THEN  Auto)

---

Home Index