---

Step * 1 1 of Lemma case-type-same2


1. Gamma : CubicalSet{j}
2. phi : {Gamma ⊢ _:𝔽}
3. A : {Gamma, phi ⊢ _}
4. psi : {Gamma ⊢ _:𝔽}
5. A1 : I:fset(ℕ) ⟶ Gamma, psi(I) ⟶ Type
6. B1 : I:fset(ℕ) ⟶ J:fset(ℕ) ⟶ f:J ⟶ I ⟶ a:Gamma, psi(I) ⟶ (A1 I a) ⟶ (A1 J f(a))
7. let A,F = <A1, B1> 
   in (∀I:fset(ℕ). ∀a:Gamma, psi(I). ∀u:A I a.  ((F I I 1 a u) = u ∈ (A I a)))
      ∧ (∀I,J,K:fset(ℕ). ∀f:J ⟶ I. ∀g:K ⟶ J. ∀a:Gamma, psi(I). ∀u:A I a.
           ((F I K f ⋅ g a u) = (F J K g f(a) (F I J f a u)) ∈ (A K f ⋅ g(a))))
8. Gamma, (phi ∧ psi) ⊢ A = <A1, B1>
9. I : fset(ℕ)
10. x : Gamma, psi(I)
⊢ (A1 I x) = case-cube(phi;A;<A1, B1>;I;x) ∈ Type
BY
{ (RepUR ``case-cube`` 0
   THEN RepUR ``context-subset`` -1
   THEN D -1
   THEN (BoolCase ⌜(phi(x)==1)⌝⋅ THENA Auto)
   THEN Try (MemberAuto)) }

1
1. Gamma : CubicalSet{j}
2. phi : {Gamma ⊢ _:𝔽}
3. A : {Gamma, phi ⊢ _}
4. psi : {Gamma ⊢ _:𝔽}
5. A1 : I:fset(ℕ) ⟶ Gamma, psi(I) ⟶ Type
6. B1 : I:fset(ℕ) ⟶ J:fset(ℕ) ⟶ f:J ⟶ I ⟶ a:Gamma, psi(I) ⟶ (A1 I a) ⟶ (A1 J f(a))
7. let A,F = <A1, B1> 
   in (∀I:fset(ℕ). ∀a:Gamma, psi(I). ∀u:A I a.  ((F I I 1 a u) = u ∈ (A I a)))
      ∧ (∀I,J,K:fset(ℕ). ∀f:J ⟶ I. ∀g:K ⟶ J. ∀a:Gamma, psi(I). ∀u:A I a.
           ((F I K f ⋅ g a u) = (F J K g f(a) (F I J f a u)) ∈ (A K f ⋅ g(a))))
8. Gamma, (phi ∧ psi) ⊢ A = <A1, B1>
9. I : fset(ℕ)
10. x : Gamma(I)
11. psi(x) = 1 ∈ Point(face_lattice(I))
12. phi(x) = 1 ∈ Point(face_lattice(I))
⊢ (A1 I x) = A(x) ∈ Type

---

Latex:

---

Latex:

1.  Gamma  :  CubicalSet\{j\}
2.  phi  :  \{Gamma  \mvdash{}  \_:\mBbbF{}\}
3.  A  :  \{Gamma,  phi  \mvdash{}  \_\}
4.  psi  :  \{Gamma  \mvdash{}  \_:\mBbbF{}\}
5.  A1  :  I:fset(\mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  Gamma,  psi(I)  {}\mrightarrow{}  Type
6.  B1  :  I:fset(\mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  J:fset(\mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  f:J  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}  a:Gamma,  psi(I)  {}\mrightarrow{}  (A1  I  a)  {}\mrightarrow{}  (A1  J  f(a))
7.  let  A,F  =  <A1,  B1> 
      in  (\mforall{}I:fset(\mBbbN{}).  \mforall{}a:Gamma,  psi(I).  \mforall{}u:A  I  a.    ((F  I  I  1  a  u)  =  u))
            \mwedge{}  (\mforall{}I,J,K:fset(\mBbbN{}).  \mforall{}f:J  {}\mrightarrow{}  I.  \mforall{}g:K  {}\mrightarrow{}  J.  \mforall{}a:Gamma,  psi(I).  \mforall{}u:A  I  a.
                      ((F  I  K  f  \mcdot{}  g  a  u)  =  (F  J  K  g  f(a)  (F  I  J  f  a  u))))
8.  Gamma,  (phi  \mwedge{}  psi)  \mvdash{}  A  =  <A1,  B1>
9.  I  :  fset(\mBbbN{})
10.  x  :  Gamma,  psi(I)
\mvdash{}  (A1  I  x)  =  case-cube(phi;A;<A1,  B1>I;x)


By

---

Latex:
(RepUR  ``case-cube``  0
  THEN  RepUR  ``context-subset``  -1
  THEN  D  -1
  THEN  (BoolCase  \mkleeneopen{}(phi(x)==1)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  Try  (MemberAuto))

---

Home Index