---

Step * 1 of Lemma case-type-same2


1. Gamma : CubicalSet{j}
2. phi : {Gamma ⊢ _:𝔽}
3. A : {Gamma, phi ⊢ _}
4. psi : {Gamma ⊢ _:𝔽}
5. B : {Gamma, psi ⊢ _}
6. Gamma, (phi ∧ psi) ⊢ A = B
⊢ (if phi then A else B)
= B
∈ (A:I:fset(ℕ) ⟶ Gamma, psi(I) ⟶ Type × (I:fset(ℕ)
                                          ⟶ J:fset(ℕ)
                                          ⟶ f:J ⟶ I
                                          ⟶ a:Gamma, psi(I)
                                          ⟶ (A I a)
                                          ⟶ (A J f(a))))
BY
{ (Symmetry
   THEN RepeatFor 2 (DVar `B')
   THEN RepUR ``case-type`` 0
   THEN EqCD
   THEN Auto
   THEN Repeat (((FunExt THENA Auto) THEN Reduce 0))) }

1
1. Gamma : CubicalSet{j}
2. phi : {Gamma ⊢ _:𝔽}
3. A : {Gamma, phi ⊢ _}
4. psi : {Gamma ⊢ _:𝔽}
5. A1 : I:fset(ℕ) ⟶ Gamma, psi(I) ⟶ Type
6. B1 : I:fset(ℕ) ⟶ J:fset(ℕ) ⟶ f:J ⟶ I ⟶ a:Gamma, psi(I) ⟶ (A1 I a) ⟶ (A1 J f(a))
7. let A,F = <A1, B1> 
   in (∀I:fset(ℕ). ∀a:Gamma, psi(I). ∀u:A I a.  ((F I I 1 a u) = u ∈ (A I a)))
      ∧ (∀I,J,K:fset(ℕ). ∀f:J ⟶ I. ∀g:K ⟶ J. ∀a:Gamma, psi(I). ∀u:A I a.
           ((F I K f ⋅ g a u) = (F J K g f(a) (F I J f a u)) ∈ (A K f ⋅ g(a))))
8. Gamma, (phi ∧ psi) ⊢ A = <A1, B1>
9. I : fset(ℕ)
10. x : Gamma, psi(I)
⊢ (A1 I x) = case-cube(phi;A;<A1, B1>;I;x) ∈ Type

2
1. Gamma : CubicalSet{j}
2. phi : {Gamma ⊢ _:𝔽}
3. A : {Gamma, phi ⊢ _}
4. psi : {Gamma ⊢ _:𝔽}
5. A1 : I:fset(ℕ) ⟶ Gamma, psi(I) ⟶ Type
6. B1 : I:fset(ℕ) ⟶ J:fset(ℕ) ⟶ f:J ⟶ I ⟶ a:Gamma, psi(I) ⟶ (A1 I a) ⟶ (A1 J f(a))
7. let A,F = <A1, B1> 
   in (∀I:fset(ℕ). ∀a:Gamma, psi(I). ∀u:A I a.  ((F I I 1 a u) = u ∈ (A I a)))
      ∧ (∀I,J,K:fset(ℕ). ∀f:J ⟶ I. ∀g:K ⟶ J. ∀a:Gamma, psi(I). ∀u:A I a.
           ((F I K f ⋅ g a u) = (F J K g f(a) (F I J f a u)) ∈ (A K f ⋅ g(a))))
8. Gamma, (phi ∧ psi) ⊢ A = <A1, B1>
9. I : fset(ℕ)
10. J : fset(ℕ)
11. f : J ⟶ I
12. a : Gamma, psi(I)
13. x : A1 I a
⊢ (B1 I J f a x) = if (phi(a)==1) then (x a f) else B1 I J f a x fi  ∈ (A1 J f(a))

---

Latex:

---

Latex:

1.  Gamma  :  CubicalSet\{j\}
2.  phi  :  \{Gamma  \mvdash{}  \_:\mBbbF{}\}
3.  A  :  \{Gamma,  phi  \mvdash{}  \_\}
4.  psi  :  \{Gamma  \mvdash{}  \_:\mBbbF{}\}
5.  B  :  \{Gamma,  psi  \mvdash{}  \_\}
6.  Gamma,  (phi  \mwedge{}  psi)  \mvdash{}  A  =  B
\mvdash{}  (if  phi  then  A  else  B)  =  B


By

---

Latex:
(Symmetry
  THEN  RepeatFor  2  (DVar  `B')
  THEN  RepUR  ``case-type``  0
  THEN  EqCD
  THEN  Auto
  THEN  Repeat  (((FunExt  THENA  Auto)  THEN  Reduce  0)))

---

Home Index