---

Step * 1 2 of Lemma case-type-same2


1. Gamma : CubicalSet{j}
2. phi : {Gamma ⊢ _:𝔽}
3. A : {Gamma, phi ⊢ _}
4. psi : {Gamma ⊢ _:𝔽}
5. A1 : I:fset(ℕ) ⟶ Gamma, psi(I) ⟶ Type
6. B1 : I:fset(ℕ) ⟶ J:fset(ℕ) ⟶ f:J ⟶ I ⟶ a:Gamma, psi(I) ⟶ (A1 I a) ⟶ (A1 J f(a))
7. let A,F = <A1, B1> 
   in (∀I:fset(ℕ). ∀a:Gamma, psi(I). ∀u:A I a.  ((F I I 1 a u) = u ∈ (A I a)))
      ∧ (∀I,J,K:fset(ℕ). ∀f:J ⟶ I. ∀g:K ⟶ J. ∀a:Gamma, psi(I). ∀u:A I a.
           ((F I K f ⋅ g a u) = (F J K g f(a) (F I J f a u)) ∈ (A K f ⋅ g(a))))
8. Gamma, (phi ∧ psi) ⊢ A = <A1, B1>
9. I : fset(ℕ)
10. J : fset(ℕ)
11. f : J ⟶ I
12. a : Gamma, psi(I)
13. x : A1 I a
⊢ (B1 I J f a x) = if (phi(a)==1) then (x a f) else B1 I J f a x fi  ∈ (A1 J f(a))
BY
{ (RepUR ``context-subset`` -2 THEN D -2 THEN (BoolCase ⌜(phi(a)==1)⌝⋅ THENA Auto) THEN MemberAuto) }

1
1. Gamma : CubicalSet{j}
2. phi : {Gamma ⊢ _:𝔽}
3. A : {Gamma, phi ⊢ _}
4. psi : {Gamma ⊢ _:𝔽}
5. A1 : I:fset(ℕ) ⟶ Gamma, psi(I) ⟶ Type
6. B1 : I:fset(ℕ) ⟶ J:fset(ℕ) ⟶ f:J ⟶ I ⟶ a:Gamma, psi(I) ⟶ (A1 I a) ⟶ (A1 J f(a))
7. let A,F = <A1, B1> 
   in (∀I:fset(ℕ). ∀a:Gamma, psi(I). ∀u:A I a.  ((F I I 1 a u) = u ∈ (A I a)))
      ∧ (∀I,J,K:fset(ℕ). ∀f:J ⟶ I. ∀g:K ⟶ J. ∀a:Gamma, psi(I). ∀u:A I a.
           ((F I K f ⋅ g a u) = (F J K g f(a) (F I J f a u)) ∈ (A K f ⋅ g(a))))
8. Gamma, (phi ∧ psi) ⊢ A = <A1, B1>
9. I : fset(ℕ)
10. J : fset(ℕ)
11. f : J ⟶ I
12. a : Gamma(I)
13. psi(a) = 1 ∈ Point(face_lattice(I))
14. x : A1 I a
15. phi(a) = 1 ∈ Point(face_lattice(I))
⊢ (B1 I J f a x) = (x a f) ∈ (A1 J f(a))

---

Latex:

---

Latex:

1.  Gamma  :  CubicalSet\{j\}
2.  phi  :  \{Gamma  \mvdash{}  \_:\mBbbF{}\}
3.  A  :  \{Gamma,  phi  \mvdash{}  \_\}
4.  psi  :  \{Gamma  \mvdash{}  \_:\mBbbF{}\}
5.  A1  :  I:fset(\mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  Gamma,  psi(I)  {}\mrightarrow{}  Type
6.  B1  :  I:fset(\mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  J:fset(\mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  f:J  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}  a:Gamma,  psi(I)  {}\mrightarrow{}  (A1  I  a)  {}\mrightarrow{}  (A1  J  f(a))
7.  let  A,F  =  <A1,  B1> 
      in  (\mforall{}I:fset(\mBbbN{}).  \mforall{}a:Gamma,  psi(I).  \mforall{}u:A  I  a.    ((F  I  I  1  a  u)  =  u))
            \mwedge{}  (\mforall{}I,J,K:fset(\mBbbN{}).  \mforall{}f:J  {}\mrightarrow{}  I.  \mforall{}g:K  {}\mrightarrow{}  J.  \mforall{}a:Gamma,  psi(I).  \mforall{}u:A  I  a.
                      ((F  I  K  f  \mcdot{}  g  a  u)  =  (F  J  K  g  f(a)  (F  I  J  f  a  u))))
8.  Gamma,  (phi  \mwedge{}  psi)  \mvdash{}  A  =  <A1,  B1>
9.  I  :  fset(\mBbbN{})
10.  J  :  fset(\mBbbN{})
11.  f  :  J  {}\mrightarrow{}  I
12.  a  :  Gamma,  psi(I)
13.  x  :  A1  I  a
\mvdash{}  (B1  I  J  f  a  x)  =  if  (phi(a)==1)  then  (x  a  f)  else  B1  I  J  f  a  x  fi 


By

---

Latex:
(RepUR  ``context-subset``  -2  THEN  D  -2  THEN  (BoolCase  \mkleeneopen{}(phi(a)==1)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)  THEN  MemberAuto)

---

Home Index