---

Step * 1 of Lemma composition-structure-equal


1. Gamma : CubicalSet{j}
2. A : {Gamma ⊢ _}
3. c1 : Gamma ⊢ Compositon(A)
4. c2 : Gamma ⊢ Compositon(A)
5. ∀H:j⊢. ∀sigma:H.𝕀 j⟶ Gamma. ∀phi:{H ⊢ _:𝔽}. ∀u:{H, phi.𝕀 ⊢ _:(A)sigma}.
   ∀a0:{H ⊢ _:((A)sigma)[0(𝕀)][phi |⟶ (u)[0(𝕀)]]}.
     ((c1 H sigma phi u a0) = (c2 H sigma phi u a0) ∈ {H ⊢ _:((A)sigma)[1(𝕀)]})
⊢ c1 = c2 ∈ Gamma ⊢ Compositon(A)
BY
{ (D 3
   THEN EqTypeCD
   THEN Auto
   THEN Unfold `composition-function` 0
   THEN RepeatFor 5 ((FunExt THENA Auto))
   THEN Unfold `constrained-cubical-term` 0
   THEN EqTypeCD) }

1
1. Gamma : CubicalSet{j}
2. A : {Gamma ⊢ _}
3. c1 : composition-function{j:l,i:l}(Gamma;A)
4. uniform-comp-function{j:l, i:l}(Gamma; A; c1)
5. c2 : Gamma ⊢ Compositon(A)
6. ∀H:j⊢. ∀sigma:H.𝕀 j⟶ Gamma. ∀phi:{H ⊢ _:𝔽}. ∀u:{H, phi.𝕀 ⊢ _:(A)sigma}.
   ∀a0:{H ⊢ _:((A)sigma)[0(𝕀)][phi |⟶ (u)[0(𝕀)]]}.
     ((c1 H sigma phi u a0) = (c2 H sigma phi u a0) ∈ {H ⊢ _:((A)sigma)[1(𝕀)]})
7. H : CubicalSet{j}
8. sigma : H.𝕀 j⟶ Gamma
9. phi : {H ⊢ _:𝔽}
10. u : {H, phi.𝕀 ⊢ _:(A)sigma}
11. a0 : {H ⊢ _:((A)sigma)[0(𝕀)][phi |⟶ (u)[0(𝕀)]]}
⊢ (c1 H sigma phi u a0) = (c2 H sigma phi u a0) ∈ {H ⊢ _:((A)sigma)[1(𝕀)]}

2
.....set predicate..... 
1. Gamma : CubicalSet{j}
2. A : {Gamma ⊢ _}
3. c1 : composition-function{j:l,i:l}(Gamma;A)
4. uniform-comp-function{j:l, i:l}(Gamma; A; c1)
5. c2 : Gamma ⊢ Compositon(A)
6. ∀H:j⊢. ∀sigma:H.𝕀 j⟶ Gamma. ∀phi:{H ⊢ _:𝔽}. ∀u:{H, phi.𝕀 ⊢ _:(A)sigma}.
   ∀a0:{H ⊢ _:((A)sigma)[0(𝕀)][phi |⟶ (u)[0(𝕀)]]}.
     ((c1 H sigma phi u a0) = (c2 H sigma phi u a0) ∈ {H ⊢ _:((A)sigma)[1(𝕀)]})
7. H : CubicalSet{j}
8. sigma : H.𝕀 j⟶ Gamma
9. phi : {H ⊢ _:𝔽}
10. u : {H, phi.𝕀 ⊢ _:(A)sigma}
11. a0 : {H ⊢ _:((A)sigma)[0(𝕀)][phi |⟶ (u)[0(𝕀)]]}
⊢ (u)[1(𝕀)] = (c1 H sigma phi u a0) ∈ {H, phi ⊢ _:((A)sigma)[1(𝕀)]}

3
.....wf..... 
1. Gamma : CubicalSet{j}
2. A : {Gamma ⊢ _}
3. c1 : composition-function{j:l,i:l}(Gamma;A)
4. uniform-comp-function{j:l, i:l}(Gamma; A; c1)
5. c2 : Gamma ⊢ Compositon(A)
6. ∀H:j⊢. ∀sigma:H.𝕀 j⟶ Gamma. ∀phi:{H ⊢ _:𝔽}. ∀u:{H, phi.𝕀 ⊢ _:(A)sigma}.
   ∀a0:{H ⊢ _:((A)sigma)[0(𝕀)][phi |⟶ (u)[0(𝕀)]]}.
     ((c1 H sigma phi u a0) = (c2 H sigma phi u a0) ∈ {H ⊢ _:((A)sigma)[1(𝕀)]})
7. H : CubicalSet{j}
8. sigma : H.𝕀 j⟶ Gamma
9. phi : {H ⊢ _:𝔽}
10. u : {H, phi.𝕀 ⊢ _:(A)sigma}
11. a0 : {H ⊢ _:((A)sigma)[0(𝕀)][phi |⟶ (u)[0(𝕀)]]}
12. a : {H ⊢ _:((A)sigma)[1(𝕀)]}
⊢ istype((u)[1(𝕀)] = a ∈ {H, phi ⊢ _:((A)sigma)[1(𝕀)]})

---

Latex:

---

Latex:

1.  Gamma  :  CubicalSet\{j\}
2.  A  :  \{Gamma  \mvdash{}  \_\}
3.  c1  :  Gamma  \mvdash{}  Compositon(A)
4.  c2  :  Gamma  \mvdash{}  Compositon(A)
5.  \mforall{}H:j\mvdash{}.  \mforall{}sigma:H.\mBbbI{}  j{}\mrightarrow{}  Gamma.  \mforall{}phi:\{H  \mvdash{}  \_:\mBbbF{}\}.  \mforall{}u:\{H,  phi.\mBbbI{}  \mvdash{}  \_:(A)sigma\}.
      \mforall{}a0:\{H  \mvdash{}  \_:((A)sigma)[0(\mBbbI{})][phi  |{}\mrightarrow{}  (u)[0(\mBbbI{})]]\}.
          ((c1  H  sigma  phi  u  a0)  =  (c2  H  sigma  phi  u  a0))
\mvdash{}  c1  =  c2


By

---

Latex:
(D  3
  THEN  EqTypeCD
  THEN  Auto
  THEN  Unfold  `composition-function`  0
  THEN  RepeatFor  5  ((FunExt  THENA  Auto))
  THEN  Unfold  `constrained-cubical-term`  0
  THEN  EqTypeCD)

---

Home Index