---

Step * 2 of Lemma context-subset-adjoin-subtype


1. Gamma : CubicalSet{j}
2. A : {Gamma ⊢ _}
3. phi : {Gamma ⊢ _:𝔽}
4. A@0 : I:fset(ℕ) ⟶ Gamma.A(I) ⟶ Type
5. x1 : I:fset(ℕ) ⟶ J:fset(ℕ) ⟶ f:J ⟶ I ⟶ a:Gamma.A(I) ⟶ (A@0 I a) ⟶ (A@0 J f(a))
6. (∀I:fset(ℕ). ∀a:Gamma.A(I). ∀u:A@0 I a.  ((x1 I I 1 a u) = u ∈ (A@0 I a)))
∧ (∀I,J,K:fset(ℕ). ∀f:J ⟶ I. ∀g:K ⟶ J. ∀a:Gamma.A(I). ∀u:A@0 I a.
     ((x1 I K f ⋅ g a u) = (x1 J K g f(a) (x1 I J f a u)) ∈ (A@0 K f ⋅ g(a))))
7. {Gamma ⊢ _} ⊆r {Gamma, phi ⊢ _}
⊢ Gamma, phi.A ⊢ <A@0, x1>
BY
{ Assert ⌜∀I:fset(ℕ). (Gamma, phi.A(I) ⊆r Gamma.A(I))⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. Gamma : CubicalSet{j}
2. A : {Gamma ⊢ _}
3. phi : {Gamma ⊢ _:𝔽}
4. A@0 : I:fset(ℕ) ⟶ Gamma.A(I) ⟶ Type
5. x1 : I:fset(ℕ) ⟶ J:fset(ℕ) ⟶ f:J ⟶ I ⟶ a:Gamma.A(I) ⟶ (A@0 I a) ⟶ (A@0 J f(a))
6. (∀I:fset(ℕ). ∀a:Gamma.A(I). ∀u:A@0 I a.  ((x1 I I 1 a u) = u ∈ (A@0 I a)))
∧ (∀I,J,K:fset(ℕ). ∀f:J ⟶ I. ∀g:K ⟶ J. ∀a:Gamma.A(I). ∀u:A@0 I a.
     ((x1 I K f ⋅ g a u) = (x1 J K g f(a) (x1 I J f a u)) ∈ (A@0 K f ⋅ g(a))))
7. {Gamma ⊢ _} ⊆r {Gamma, phi ⊢ _}
⊢ ∀I:fset(ℕ). (Gamma, phi.A(I) ⊆r Gamma.A(I))

2
1. Gamma : CubicalSet{j}
2. A : {Gamma ⊢ _}
3. phi : {Gamma ⊢ _:𝔽}
4. A@0 : I:fset(ℕ) ⟶ Gamma.A(I) ⟶ Type
5. x1 : I:fset(ℕ) ⟶ J:fset(ℕ) ⟶ f:J ⟶ I ⟶ a:Gamma.A(I) ⟶ (A@0 I a) ⟶ (A@0 J f(a))
6. (∀I:fset(ℕ). ∀a:Gamma.A(I). ∀u:A@0 I a.  ((x1 I I 1 a u) = u ∈ (A@0 I a)))
∧ (∀I,J,K:fset(ℕ). ∀f:J ⟶ I. ∀g:K ⟶ J. ∀a:Gamma.A(I). ∀u:A@0 I a.
     ((x1 I K f ⋅ g a u) = (x1 J K g f(a) (x1 I J f a u)) ∈ (A@0 K f ⋅ g(a))))
7. {Gamma ⊢ _} ⊆r {Gamma, phi ⊢ _}
8. ∀I:fset(ℕ). (Gamma, phi.A(I) ⊆r Gamma.A(I))
⊢ Gamma, phi.A ⊢ <A@0, x1>

---

Latex:

---

Latex:

1.  Gamma  :  CubicalSet\{j\}
2.  A  :  \{Gamma  \mvdash{}  \_\}
3.  phi  :  \{Gamma  \mvdash{}  \_:\mBbbF{}\}
4.  A@0  :  I:fset(\mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  Gamma.A(I)  {}\mrightarrow{}  Type
5.  x1  :  I:fset(\mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  J:fset(\mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  f:J  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}  a:Gamma.A(I)  {}\mrightarrow{}  (A@0  I  a)  {}\mrightarrow{}  (A@0  J  f(a))
6.  (\mforall{}I:fset(\mBbbN{}).  \mforall{}a:Gamma.A(I).  \mforall{}u:A@0  I  a.    ((x1  I  I  1  a  u)  =  u))
\mwedge{}  (\mforall{}I,J,K:fset(\mBbbN{}).  \mforall{}f:J  {}\mrightarrow{}  I.  \mforall{}g:K  {}\mrightarrow{}  J.  \mforall{}a:Gamma.A(I).  \mforall{}u:A@0  I  a.
          ((x1  I  K  f  \mcdot{}  g  a  u)  =  (x1  J  K  g  f(a)  (x1  I  J  f  a  u))))
7.  \{Gamma  \mvdash{}  \_\}  \msubseteq{}r  \{Gamma,  phi  \mvdash{}  \_\}
\mvdash{}  Gamma,  phi.A  \mvdash{}  <A@0,  x1>


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}\mforall{}I:fset(\mBbbN{}).  (Gamma,  phi.A(I)  \msubseteq{}r  Gamma.A(I))\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index