---

Step * 2 1 of Lemma csm-fiber-path


1. X : CubicalSet{j}
2. T : {X ⊢ _}
3. A : {X ⊢ _}
4. w : {X ⊢ _:(T ⟶ A)}
5. a : {X ⊢ _:A}
6. p : {X ⊢ _:Σ T (Path_(A)p (a)p app((w)p; q))}
7. H : CubicalSet{j}
8. s : H j⟶ X
9. ∀[B:{X.T ⊢ _}]. ∀[p:{X ⊢ _:Σ T B}]. ∀[s:H j⟶ X].  ((p.2)s = (p)s.2 ∈ {H ⊢ _:((B)[p.1])s})
10. app((w)p; q) ∈ {X.T ⊢ _:(A)p}
11. app((w)s; fiber-member((p)s)) ∈ {H ⊢ _:(A)s}
12. (p.2)s = (p)s.2 ∈ {H ⊢ _:(((Path_(A)p (a)p app((w)p; q)))[p.1])s}
⊢ (((Path_(A)p (a)p app((w)p; q)))[p.1])s = (H ⊢ Path_(A)s (a)s app((w)s; fiber-member((p)s))) ∈ {H ⊢ _}
BY
{ Assert ⌜(H ⊢ Path_(((A)p)[p.1])s (((a)p)[p.1])s ((app((w)p; q))[p.1])s)
          = (H ⊢ Path_(A)s (a)s app((w)s; fiber-member((p)s)))
          ∈ {H ⊢ _}⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. X : CubicalSet{j}
2. T : {X ⊢ _}
3. A : {X ⊢ _}
4. w : {X ⊢ _:(T ⟶ A)}
5. a : {X ⊢ _:A}
6. p : {X ⊢ _:Σ T (Path_(A)p (a)p app((w)p; q))}
7. H : CubicalSet{j}
8. s : H j⟶ X
9. ∀[B:{X.T ⊢ _}]. ∀[p:{X ⊢ _:Σ T B}]. ∀[s:H j⟶ X].  ((p.2)s = (p)s.2 ∈ {H ⊢ _:((B)[p.1])s})
10. app((w)p; q) ∈ {X.T ⊢ _:(A)p}
11. app((w)s; fiber-member((p)s)) ∈ {H ⊢ _:(A)s}
12. (p.2)s = (p)s.2 ∈ {H ⊢ _:(((Path_(A)p (a)p app((w)p; q)))[p.1])s}
⊢ (H ⊢ Path_(((A)p)[p.1])s (((a)p)[p.1])s ((app((w)p; q))[p.1])s)
= (H ⊢ Path_(A)s (a)s app((w)s; fiber-member((p)s)))
∈ {H ⊢ _}

2
1. X : CubicalSet{j}
2. T : {X ⊢ _}
3. A : {X ⊢ _}
4. w : {X ⊢ _:(T ⟶ A)}
5. a : {X ⊢ _:A}
6. p : {X ⊢ _:Σ T (Path_(A)p (a)p app((w)p; q))}
7. H : CubicalSet{j}
8. s : H j⟶ X
9. ∀[B:{X.T ⊢ _}]. ∀[p:{X ⊢ _:Σ T B}]. ∀[s:H j⟶ X].  ((p.2)s = (p)s.2 ∈ {H ⊢ _:((B)[p.1])s})
10. app((w)p; q) ∈ {X.T ⊢ _:(A)p}
11. app((w)s; fiber-member((p)s)) ∈ {H ⊢ _:(A)s}
12. (p.2)s = (p)s.2 ∈ {H ⊢ _:(((Path_(A)p (a)p app((w)p; q)))[p.1])s}
13. (H ⊢ Path_(((A)p)[p.1])s (((a)p)[p.1])s ((app((w)p; q))[p.1])s)
= (H ⊢ Path_(A)s (a)s app((w)s; fiber-member((p)s)))
∈ {H ⊢ _}
⊢ (((Path_(A)p (a)p app((w)p; q)))[p.1])s = (H ⊢ Path_(A)s (a)s app((w)s; fiber-member((p)s))) ∈ {H ⊢ _}

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  CubicalSet\{j\}
2.  T  :  \{X  \mvdash{}  \_\}
3.  A  :  \{X  \mvdash{}  \_\}
4.  w  :  \{X  \mvdash{}  \_:(T  {}\mrightarrow{}  A)\}
5.  a  :  \{X  \mvdash{}  \_:A\}
6.  p  :  \{X  \mvdash{}  \_:\mSigma{}  T  (Path\_(A)p  (a)p  app((w)p;  q))\}
7.  H  :  CubicalSet\{j\}
8.  s  :  H  j{}\mrightarrow{}  X
9.  \mforall{}[B:\{X.T  \mvdash{}  \_\}].  \mforall{}[p:\{X  \mvdash{}  \_:\mSigma{}  T  B\}].  \mforall{}[s:H  j{}\mrightarrow{}  X].    ((p.2)s  =  (p)s.2)
10.  app((w)p;  q)  \mmember{}  \{X.T  \mvdash{}  \_:(A)p\}
11.  app((w)s;  fiber-member((p)s))  \mmember{}  \{H  \mvdash{}  \_:(A)s\}
12.  (p.2)s  =  (p)s.2
\mvdash{}  (((Path\_(A)p  (a)p  app((w)p;  q)))[p.1])s  =  (H  \mvdash{}  Path\_(A)s  (a)s  app((w)s;  fiber-member((p)s)))


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}(H  \mvdash{}  Path\_(((A)p)[p.1])s  (((a)p)[p.1])s  ((app((w)p;  q))[p.1])s)
                =  (H  \mvdash{}  Path\_(A)s  (a)s  app((w)s;  fiber-member((p)s)))\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index