---

Step * 2 3 of Lemma discrete-pi-equiv


1. A : Type
2. B : A ⟶ Type
3. X : CubicalSet{j}
4. discrete-function(q) ∈ {X.Πdiscr(A) discrete-family(A;a.B[a]) ⊢ _:(discr(a:A ⟶ B[a]))p}
⊢ refl(q) ∈ {X.discr(a:A ⟶ B[a]).Fiber((cubical-lam(X;discrete-function(q)))p;q) ⊢ _
             :(Path_(Fiber((cubical-lam(X;discrete-function(q)))p;q))p
                    (fiber-point(discrete-function-inv(X.discr(a:A ⟶ B[a]); q);refl(q)))p q)}
BY
{ Assert ⌜{X.discr(a:A ⟶ B[a]).Fiber((cubical-lam(X;discrete-function(q)))p;q) ⊢ _
           :(Path_(Fiber((cubical-lam(X;discrete-function(q)))p;q))p q q)}
          = {X.discr(a:A ⟶ B[a]).Fiber((cubical-lam(X;discrete-function(q)))p;q) ⊢ _
             :(Path_(Fiber((cubical-lam(X;discrete-function(q)))p;q))p
                    (fiber-point(discrete-function-inv(X.discr(a:A ⟶ B[a]); q);refl(q)))p q)}
          ∈ 𝕌{[i' | j']}⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. A : Type
2. B : A ⟶ Type
3. X : CubicalSet{j}
4. discrete-function(q) ∈ {X.Πdiscr(A) discrete-family(A;a.B[a]) ⊢ _:(discr(a:A ⟶ B[a]))p}
⊢ {X.discr(a:A ⟶ B[a]).Fiber((cubical-lam(X;discrete-function(q)))p;q) ⊢ _
   :(Path_(Fiber((cubical-lam(X;discrete-function(q)))p;q))p q q)}
= {X.discr(a:A ⟶ B[a]).Fiber((cubical-lam(X;discrete-function(q)))p;q) ⊢ _
   :(Path_(Fiber((cubical-lam(X;discrete-function(q)))p;q))p
          (fiber-point(discrete-function-inv(X.discr(a:A ⟶ B[a]); q);refl(q)))p q)}
∈ 𝕌{[i' | j']}

2
1. A : Type
2. B : A ⟶ Type
3. X : CubicalSet{j}
4. discrete-function(q) ∈ {X.Πdiscr(A) discrete-family(A;a.B[a]) ⊢ _:(discr(a:A ⟶ B[a]))p}
5. {X.discr(a:A ⟶ B[a]).Fiber((cubical-lam(X;discrete-function(q)))p;q) ⊢ _
    :(Path_(Fiber((cubical-lam(X;discrete-function(q)))p;q))p q q)}
= {X.discr(a:A ⟶ B[a]).Fiber((cubical-lam(X;discrete-function(q)))p;q) ⊢ _
   :(Path_(Fiber((cubical-lam(X;discrete-function(q)))p;q))p
          (fiber-point(discrete-function-inv(X.discr(a:A ⟶ B[a]); q);refl(q)))p q)}
∈ 𝕌{[i' | j']}
⊢ refl(q) ∈ {X.discr(a:A ⟶ B[a]).Fiber((cubical-lam(X;discrete-function(q)))p;q) ⊢ _
             :(Path_(Fiber((cubical-lam(X;discrete-function(q)))p;q))p
                    (fiber-point(discrete-function-inv(X.discr(a:A ⟶ B[a]); q);refl(q)))p q)}

---

Latex:

---

Latex:

1.  A  :  Type
2.  B  :  A  {}\mrightarrow{}  Type
3.  X  :  CubicalSet\{j\}
4.  discrete-function(q)  \mmember{}  \{X.\mPi{}discr(A)  discrete-family(A;a.B[a])  \mvdash{}  \_:(discr(a:A  {}\mrightarrow{}  B[a]))p\}
\mvdash{}  refl(q)  \mmember{}  \{X.discr(a:A  {}\mrightarrow{}  B[a]).Fiber((cubical-lam(X;discrete-function(q)))p;q)  \mvdash{}  \_
                          :(Path\_(Fiber((cubical-lam(X;discrete-function(q)))p;q))p
                                        (fiber-point(discrete-function-inv(X.discr(a:A  {}\mrightarrow{}  B[a]);  q);refl(q)))p  q)\}


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}\{X.discr(a:A  {}\mrightarrow{}  B[a]).Fiber((cubical-lam(X;discrete-function(q)))p;q)  \mvdash{}  \_
                  :(Path\_(Fiber((cubical-lam(X;discrete-function(q)))p;q))p  q  q)\}
                =  \{X.discr(a:A  {}\mrightarrow{}  B[a]).Fiber((cubical-lam(X;discrete-function(q)))p;q)  \mvdash{}  \_
                      :(Path\_(Fiber((cubical-lam(X;discrete-function(q)))p;q))p
                                    (fiber-point(discrete-function-inv(X.discr(a:A  {}\mrightarrow{}  B[a]);  q);refl(q)))p  q)\}\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index