---

Step * 2 1 of Lemma paths-are-refl-iff


1. X : CubicalSet{j}
2. A : {X ⊢ _}
3. ∀Z:j⊢. ∀s:Z j⟶ X. ∀p:{Z ⊢ _:Path((A)s)}.  ∀[x,y:{Z ⊢ _:𝕀}].  (p @ x = p @ y ∈ {Z ⊢ _:(A)s})
4. Z : CubicalSet{j}
5. s : Z j⟶ X
6. p : {Z ⊢ _:Path((A)s)}
7. <>(p)p @ q = p ∈ {Z ⊢ _:Path((A)s)}
8. <>(refl(p @ 0(𝕀)))p @ q = refl(p @ 0(𝕀)) ∈ {Z ⊢ _:Path((A)s)}
⊢ p = refl(p @ 0(𝕀)) ∈ {Z ⊢ _:Path((A)s)}
BY
{ ((Assert ⌜<>(p)p @ q = <>(refl(p @ 0(𝕀)))p @ q ∈ {Z ⊢ _:Path((A)s)}⌝⋅ THENM Eq)
   THEN (Assert ⌜(p)p @ q = (refl(p @ 0(𝕀)))p @ q ∈ {Z.𝕀 ⊢ _:((A)s)p}⌝⋅
        THENM (ApFunToHypEquands `f' ⌜<>f⌝ ⌜{Z ⊢ _:Path((A)s)}⌝ (-1)⋅ THEN Auto)
        )
   ) }

1
.....assertion..... 
1. X : CubicalSet{j}
2. A : {X ⊢ _}
3. ∀Z:j⊢. ∀s:Z j⟶ X. ∀p:{Z ⊢ _:Path((A)s)}.  ∀[x,y:{Z ⊢ _:𝕀}].  (p @ x = p @ y ∈ {Z ⊢ _:(A)s})
4. Z : CubicalSet{j}
5. s : Z j⟶ X
6. p : {Z ⊢ _:Path((A)s)}
7. <>(p)p @ q = p ∈ {Z ⊢ _:Path((A)s)}
8. <>(refl(p @ 0(𝕀)))p @ q = refl(p @ 0(𝕀)) ∈ {Z ⊢ _:Path((A)s)}
⊢ (p)p @ q = (refl(p @ 0(𝕀)))p @ q ∈ {Z.𝕀 ⊢ _:((A)s)p}

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  CubicalSet\{j\}
2.  A  :  \{X  \mvdash{}  \_\}
3.  \mforall{}Z:j\mvdash{}.  \mforall{}s:Z  j{}\mrightarrow{}  X.  \mforall{}p:\{Z  \mvdash{}  \_:Path((A)s)\}.    \mforall{}[x,y:\{Z  \mvdash{}  \_:\mBbbI{}\}].    (p  @  x  =  p  @  y)
4.  Z  :  CubicalSet\{j\}
5.  s  :  Z  j{}\mrightarrow{}  X
6.  p  :  \{Z  \mvdash{}  \_:Path((A)s)\}
7.  <>(p)p  @  q  =  p
8.  <>(refl(p  @  0(\mBbbI{})))p  @  q  =  refl(p  @  0(\mBbbI{}))
\mvdash{}  p  =  refl(p  @  0(\mBbbI{}))


By

---

Latex:
((Assert  \mkleeneopen{}<>(p)p  @  q  =  <>(refl(p  @  0(\mBbbI{})))p  @  q\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENM  Eq)
  THEN  (Assert  \mkleeneopen{}(p)p  @  q  =  (refl(p  @  0(\mBbbI{})))p  @  q\mkleeneclose{}\mcdot{}
            THENM  (ApFunToHypEquands  `f'  \mkleeneopen{}<>f\mkleeneclose{}  \mkleeneopen{}\{Z  \mvdash{}  \_:Path((A)s)\}\mkleeneclose{}  (-1)\mcdot{}  THEN  Auto)
            )
  )

---

Home Index