---

Step * of Lemma pres-invariant

No Annotations
∀[G,H:j⊢].
  ∀[phi:{G ⊢ _:𝔽}]. ∀[A,T:{G.𝕀 ⊢ _}]. ∀[f:{G.𝕀 ⊢ _:(T ⟶ A)}]. ∀[t:{G.𝕀, (phi)p ⊢ _:T}].
  ∀[t0:{G ⊢ _:(T)[0(𝕀)][phi |⟶ t[0]]}]. ∀[cT:G.𝕀 +⊢ Compositon(T)]. ∀[cA:G.𝕀 +⊢ Compositon(A)].
    (pres f [phi ⊢→ t] t0
    = pres f [phi ⊢→ t] t0
    ∈ {G ⊢ _:(Path_(A)[1(𝕀)] pres-c1(G;phi;f;t;t0;cA) pres-c2(G;phi;f;t;t0;cT))}) 
  supposing H = G ∈ CubicalSet{j}
BY
{ ((Intros
    THEN (Assert ⌜app(f; t) ∈ {G.𝕀, (phi)p ⊢ _:A}⌝⋅
          THENA ((Assert ⌜f ∈ {G.𝕀, (phi)p ⊢ _:(T ⟶ A)}⌝⋅ THENA Auto)
                 THEN CubicalAppFun⋅
                 THEN RWW "cubical-fun-subset" 0
                 THEN Auto)
          )
    )
   THEN StrengthenEquation 3
   THEN (HypSubst' -1 0 THENM (Fold `member` 0 THEN Auto))
   THEN MemCD) }

1
.....subterm..... T:t
1:n
1. G : CubicalSet{j}
2. H : CubicalSet{j}
3. H = G ∈ CubicalSet{j}
4. phi : {G ⊢ _:𝔽}
5. A : {G.𝕀 ⊢ _}
6. T : {G.𝕀 ⊢ _}
7. f : {G.𝕀 ⊢ _:(T ⟶ A)}
8. t : {G.𝕀, (phi)p ⊢ _:T}
9. t0 : {G ⊢ _:(T)[0(𝕀)][phi |⟶ t[0]]}
10. cT : G.𝕀 +⊢ Compositon(T)
11. cA : G.𝕀 +⊢ Compositon(A)
12. app(f; t) ∈ {G.𝕀, (phi)p ⊢ _:A}
13. H = G ∈ {z:CubicalSet{j}| (z = H ∈ CubicalSet{j}) ∧ (z = G ∈ CubicalSet{j})} 
14. z : {z:CubicalSet{j}| (z = H ∈ CubicalSet{j}) ∧ (z = G ∈ CubicalSet{j})} 
⊢ {G ⊢ _:(Path_(A)[1(𝕀)] pres-c1(G;phi;f;t;t0;cA) pres-c2(G;phi;f;t;t0;cT))} ∈ 𝕌{[j' | i]}

2
.....subterm..... T:t
2:n
1. G : CubicalSet{j}
2. H : CubicalSet{j}
3. H = G ∈ CubicalSet{j}
4. phi : {G ⊢ _:𝔽}
5. A : {G.𝕀 ⊢ _}
6. T : {G.𝕀 ⊢ _}
7. f : {G.𝕀 ⊢ _:(T ⟶ A)}
8. t : {G.𝕀, (phi)p ⊢ _:T}
9. t0 : {G ⊢ _:(T)[0(𝕀)][phi |⟶ t[0]]}
10. cT : G.𝕀 +⊢ Compositon(T)
11. cA : G.𝕀 +⊢ Compositon(A)
12. app(f; t) ∈ {G.𝕀, (phi)p ⊢ _:A}
13. H = G ∈ {z:CubicalSet{j}| (z = H ∈ CubicalSet{j}) ∧ (z = G ∈ CubicalSet{j})} 
14. z : {z:CubicalSet{j}| (z = H ∈ CubicalSet{j}) ∧ (z = G ∈ CubicalSet{j})} 
⊢ pres f [phi ⊢→ t] t0 ∈ {G ⊢ _:(Path_(A)[1(𝕀)] pres-c1(G;phi;f;t;t0;cA) pres-c2(G;phi;f;t;t0;cT))}

3
.....subterm..... T:t
3:n
1. G : CubicalSet{j}
2. H : CubicalSet{j}
3. H = G ∈ CubicalSet{j}
4. phi : {G ⊢ _:𝔽}
5. A : {G.𝕀 ⊢ _}
6. T : {G.𝕀 ⊢ _}
7. f : {G.𝕀 ⊢ _:(T ⟶ A)}
8. t : {G.𝕀, (phi)p ⊢ _:T}
9. t0 : {G ⊢ _:(T)[0(𝕀)][phi |⟶ t[0]]}
10. cT : G.𝕀 +⊢ Compositon(T)
11. cA : G.𝕀 +⊢ Compositon(A)
12. app(f; t) ∈ {G.𝕀, (phi)p ⊢ _:A}
13. H = G ∈ {z:CubicalSet{j}| (z = H ∈ CubicalSet{j}) ∧ (z = G ∈ CubicalSet{j})} 
14. z : {z:CubicalSet{j}| (z = H ∈ CubicalSet{j}) ∧ (z = G ∈ CubicalSet{j})} 
⊢ pres f [phi ⊢→ t] t0 ∈ {G ⊢ _:(Path_(A)[1(𝕀)] pres-c1(G;phi;f;t;t0;cA) pres-c2(G;phi;f;t;t0;cT))}

---

Latex:

---

Latex:
No  Annotations
\mforall{}[G,H:j\mvdash{}].
    \mforall{}[phi:\{G  \mvdash{}  \_:\mBbbF{}\}].  \mforall{}[A,T:\{G.\mBbbI{}  \mvdash{}  \_\}].  \mforall{}[f:\{G.\mBbbI{}  \mvdash{}  \_:(T  {}\mrightarrow{}  A)\}].  \mforall{}[t:\{G.\mBbbI{},  (phi)p  \mvdash{}  \_:T\}].
    \mforall{}[t0:\{G  \mvdash{}  \_:(T)[0(\mBbbI{})][phi  |{}\mrightarrow{}  t[0]]\}].  \mforall{}[cT:G.\mBbbI{}  +\mvdash{}  Compositon(T)].  \mforall{}[cA:G.\mBbbI{}  +\mvdash{}  Compositon(A)].
        (pres  f  [phi  \mvdash{}\mrightarrow{}  t]  t0  =  pres  f  [phi  \mvdash{}\mrightarrow{}  t]  t0) 
    supposing  H  =  G


By

---

Latex:
((Intros
    THEN  (Assert  \mkleeneopen{}app(f;  t)  \mmember{}  \{G.\mBbbI{},  (phi)p  \mvdash{}  \_:A\}\mkleeneclose{}\mcdot{}
                THENA  ((Assert  \mkleeneopen{}f  \mmember{}  \{G.\mBbbI{},  (phi)p  \mvdash{}  \_:(T  {}\mrightarrow{}  A)\}\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
                              THEN  CubicalAppFun\mcdot{}
                              THEN  RWW  "cubical-fun-subset"  0
                              THEN  Auto)
                )
    )
  THEN  StrengthenEquation  3
  THEN  (HypSubst'  -1  0  THENM  (Fold  `member`  0  THEN  Auto))
  THEN  MemCD)

---

Home Index