---

Step * 1 1 14 1 1 2 1 1 1 of Lemma Prop22-symmetric-point-construction-lemma

.....antecedent..... 
1. e : EuclideanPlane
2. a : Point
3. b : Point
4. c : Point
5. a # bc
6. |bc| < |ba| + |ac|
7. |ac| < |ba| + |bc|
8. |ba| < |ac| + |bc|
9. a ≠ b
10. b ≠ c
11. c ≠ a
12. x : Point
13. b-a-x
14. ax ≅ OX
15. y : Point
16. a-b-y
17. by ≅ OX
18. c1 : Point
19. x-a-c1
20. ac1 ≅ ac
21. c2 : Point
22. y-b-c2
23. bc2 ≅ bc
24. c1' : Point
25. b-a-c1'
26. ac1' ≅ ac1
27. c2' : Point
28. a-b-c2'
29. bc2' ≅ bc2
30. c1'' : Point
31. a_b_c1''
32. bc1'' ≅ bc1
33. c2'' : Point
34. b_a_c2''
35. ac2'' ≅ ac2
36. c2'-b-c2
37. c1'_a_c1
38. out(c1' c1c2')
39. c2'-c1-c1'
40. b-c2-c1'
41. out(c2' c1c2)
42. |c2'c1| < |c2'c2| ⇒ |c2'c1| + |c1a| < |c2'c2| + |c1a|
⊢ |c2'c1| + |c1a| < |c2'c2| + |c1a|
BY
{ (Assert |c2'c1| + |c1a| = |c2'b| + |ba| ∈ Length BY
         (((Assert |c2'a| = |c2'c1| + |c1a| ∈ Length BY
                  ((Assert c2'_c1_a BY Auto) THEN FLemma `geo-add-length-between` [-1] THEN Auto))
           THEN (Assert |c2'a| = |c2'b| + |ba| ∈ Length BY
                       ((Assert c2'_b_a BY Auto) THEN FLemma `geo-add-length-between` [-1] THEN Auto))
           )
          THEN Auto
          )) }

1
1. e : EuclideanPlane
2. a : Point
3. b : Point
4. c : Point
5. a # bc
6. |bc| < |ba| + |ac|
7. |ac| < |ba| + |bc|
8. |ba| < |ac| + |bc|
9. a ≠ b
10. b ≠ c
11. c ≠ a
12. x : Point
13. b-a-x
14. ax ≅ OX
15. y : Point
16. a-b-y
17. by ≅ OX
18. c1 : Point
19. x-a-c1
20. ac1 ≅ ac
21. c2 : Point
22. y-b-c2
23. bc2 ≅ bc
24. c1' : Point
25. b-a-c1'
26. ac1' ≅ ac1
27. c2' : Point
28. a-b-c2'
29. bc2' ≅ bc2
30. c1'' : Point
31. a_b_c1''
32. bc1'' ≅ bc1
33. c2'' : Point
34. b_a_c2''
35. ac2'' ≅ ac2
36. c2'-b-c2
37. c1'_a_c1
38. out(c1' c1c2')
39. c2'-c1-c1'
40. b-c2-c1'
41. out(c2' c1c2)
42. |c2'c1| < |c2'c2| ⇒ |c2'c1| + |c1a| < |c2'c2| + |c1a|
43. |c2'c1| + |c1a| = |c2'b| + |ba| ∈ Length
⊢ |c2'c1| + |c1a| < |c2'c2| + |c1a|

---

Latex:

---

Latex:
.....antecedent..... 
1.  e  :  EuclideanPlane
2.  a  :  Point
3.  b  :  Point
4.  c  :  Point
5.  a  \#  bc
6.  |bc|  <  |ba|  +  |ac|
7.  |ac|  <  |ba|  +  |bc|
8.  |ba|  <  |ac|  +  |bc|
9.  a  \mneq{}  b
10.  b  \mneq{}  c
11.  c  \mneq{}  a
12.  x  :  Point
13.  b-a-x
14.  ax  \mcong{}  OX
15.  y  :  Point
16.  a-b-y
17.  by  \mcong{}  OX
18.  c1  :  Point
19.  x-a-c1
20.  ac1  \mcong{}  ac
21.  c2  :  Point
22.  y-b-c2
23.  bc2  \mcong{}  bc
24.  c1'  :  Point
25.  b-a-c1'
26.  ac1'  \mcong{}  ac1
27.  c2'  :  Point
28.  a-b-c2'
29.  bc2'  \mcong{}  bc2
30.  c1''  :  Point
31.  a\_b\_c1''
32.  bc1''  \mcong{}  bc1
33.  c2''  :  Point
34.  b\_a\_c2''
35.  ac2''  \mcong{}  ac2
36.  c2'-b-c2
37.  c1'\_a\_c1
38.  out(c1'  c1c2')
39.  c2'-c1-c1'
40.  b-c2-c1'
41.  out(c2'  c1c2)
42.  |c2'c1|  <  |c2'c2|  {}\mRightarrow{}  |c2'c1|  +  |c1a|  <  |c2'c2|  +  |c1a|
\mvdash{}  |c2'c1|  +  |c1a|  <  |c2'c2|  +  |c1a|


By

---

Latex:
(Assert  |c2'c1|  +  |c1a|  =  |c2'b|  +  |ba|  BY
              (((Assert  |c2'a|  =  |c2'c1|  +  |c1a|  BY
                                ((Assert  c2'\_c1\_a  BY  Auto)  THEN  FLemma  `geo-add-length-between`  [-1]  THEN  Auto))
                  THEN  (Assert  |c2'a|  =  |c2'b|  +  |ba|  BY
                                          ((Assert  c2'\_b\_a  BY  Auto)  THEN  FLemma  `geo-add-length-between`  [-1]  THEN  Auto))
                  )
                THEN  Auto
                ))

---

Home Index