---

Step * 1 of Lemma basic-axioms-imply_between2


1. e : EuclideanPlaneStructure
2. ∀a,b,c,d:Point.  (ab>cd ⇒ ab ≥ cd)
3. ∀a,b,c:Point.  (ba>ac ⇒ b # c)
4. ∀a,b,c:Point.  bc ≥ aa
5. ∀a,b,c,d,e@0,f:Point.  (ab>cd ⇒ cd ≥ e@0f ⇒ ab>e@0f)
6. ∀a,b,c,d,e@0,f:Point.  (ab ≥ cd ⇒ cd>e@0f ⇒ ab>e@0f)
7. ∀a,b,c:Point.  (B(abc) ⇒ b # c ⇒ ac>ab)
8. ∀a,b,c:Point.  (a leftof bc ⇒ b leftof ca)
9. ∀a,b,c:Point.  (a leftof bc ⇒ b # c)
10. ∀a,b,c,d:Point.  (B(abd) ⇒ B(bcd) ⇒ B(abc))
11. ∀a,b,c,d,A,B,C,D:Point.  (a # b ⇒ B(abc) ⇒ B(ABC) ⇒ ab ≅ AB ⇒ bc ≅ BC ⇒ ad ≅ AD ⇒ bd ≅ BD ⇒ cd ≅ CD)
12. ∀a,b,c,x,y:Point.  (ax ≅ ay ⇒ bx ≅ by ⇒ cx ≅ cy ⇒ x # y ⇒ (¬a # bc))
13. ∀a,b,x,y,z:Point.  (x leftof ab ⇒ y leftof ab ⇒ B(xzy) ⇒ z leftof ab)
14. ∀a,b,c,y:Point.  (a # bc ⇒ y # b ⇒ (¬y # ab) ⇒ y # bc)
15. a : Point
16. b1 : Point
17. b2 : Point
18. c : Point
19. b1 ≡ b2
20. B(ab1c)
21. ∀a:Point. a ≡ a
22. ∀a,b:Point.  ab ≅ ba
23. ∀a,b,c:Point.  (a ≡ b ⇒ ac ≅ bc)
24. ∀a,b:Point.  (a # b ⇒ b # a)
⊢ B(ab2c)
BY
{ ((Assert ∀a,b,x,y:Point.  ((¬ab>aa) ⇒ a leftof xy ⇒ b leftof xy) BY
          (Auto
           THEN (Assert B(a1ba1) BY
                       (Unfold `geo-between` 0
                        THEN Auto
                        THEN (D 0 THEN Auto)
                        THEN Unfold `geo-lsep` -1
                        THEN D -1
                        THEN Auto))
           THEN InstHyp [⌜x⌝;⌜y⌝;⌜a1⌝;⌜a1⌝;⌜b⌝] (13)⋅
           THEN Auto))
   THEN (Assert ∀a,b,c,d,e1,f:Point.  (ab ≥ cd ⇒ cd ≥ e1f ⇒ ab ≥ e1f) BY
               (Intros THEN RepeatFor 2 (ParallelLast) THEN Auto))
   ) }

1
1. e : EuclideanPlaneStructure
2. ∀a,b,c,d:Point.  (ab>cd ⇒ ab ≥ cd)
3. ∀a,b,c:Point.  (ba>ac ⇒ b # c)
4. ∀a,b,c:Point.  bc ≥ aa
5. ∀a,b,c,d,e@0,f:Point.  (ab>cd ⇒ cd ≥ e@0f ⇒ ab>e@0f)
6. ∀a,b,c,d,e@0,f:Point.  (ab ≥ cd ⇒ cd>e@0f ⇒ ab>e@0f)
7. ∀a,b,c:Point.  (B(abc) ⇒ b # c ⇒ ac>ab)
8. ∀a,b,c:Point.  (a leftof bc ⇒ b leftof ca)
9. ∀a,b,c:Point.  (a leftof bc ⇒ b # c)
10. ∀a,b,c,d:Point.  (B(abd) ⇒ B(bcd) ⇒ B(abc))
11. ∀a,b,c,d,A,B,C,D:Point.  (a # b ⇒ B(abc) ⇒ B(ABC) ⇒ ab ≅ AB ⇒ bc ≅ BC ⇒ ad ≅ AD ⇒ bd ≅ BD ⇒ cd ≅ CD)
12. ∀a,b,c,x,y:Point.  (ax ≅ ay ⇒ bx ≅ by ⇒ cx ≅ cy ⇒ x # y ⇒ (¬a # bc))
13. ∀a,b,x,y,z:Point.  (x leftof ab ⇒ y leftof ab ⇒ B(xzy) ⇒ z leftof ab)
14. ∀a,b,c,y:Point.  (a # bc ⇒ y # b ⇒ (¬y # ab) ⇒ y # bc)
15. a : Point
16. b1 : Point
17. b2 : Point
18. c : Point
19. b1 ≡ b2
20. B(ab1c)
21. ∀a:Point. a ≡ a
22. ∀a,b:Point.  ab ≅ ba
23. ∀a,b,c:Point.  (a ≡ b ⇒ ac ≅ bc)
24. ∀a,b:Point.  (a # b ⇒ b # a)
25. ∀a,b,x,y:Point.  ((¬ab>aa) ⇒ a leftof xy ⇒ b leftof xy)
26. ∀a,b,c,d,e1,f:Point.  (ab ≥ cd ⇒ cd ≥ e1f ⇒ ab ≥ e1f)
⊢ B(ab2c)

---

Latex:

---

Latex:

1.  e  :  EuclideanPlaneStructure
2.  \mforall{}a,b,c,d:Point.    (ab>cd  {}\mRightarrow{}  ab  \mgeq{}  cd)
3.  \mforall{}a,b,c:Point.    (ba>ac  {}\mRightarrow{}  b  \#  c)
4.  \mforall{}a,b,c:Point.    bc  \mgeq{}  aa
5.  \mforall{}a,b,c,d,e@0,f:Point.    (ab>cd  {}\mRightarrow{}  cd  \mgeq{}  e@0f  {}\mRightarrow{}  ab>e@0f)
6.  \mforall{}a,b,c,d,e@0,f:Point.    (ab  \mgeq{}  cd  {}\mRightarrow{}  cd>e@0f  {}\mRightarrow{}  ab>e@0f)
7.  \mforall{}a,b,c:Point.    (B(abc)  {}\mRightarrow{}  b  \#  c  {}\mRightarrow{}  ac>ab)
8.  \mforall{}a,b,c:Point.    (a  leftof  bc  {}\mRightarrow{}  b  leftof  ca)
9.  \mforall{}a,b,c:Point.    (a  leftof  bc  {}\mRightarrow{}  b  \#  c)
10.  \mforall{}a,b,c,d:Point.    (B(abd)  {}\mRightarrow{}  B(bcd)  {}\mRightarrow{}  B(abc))
11.  \mforall{}a,b,c,d,A,B,C,D:Point.
            (a  \#  b  {}\mRightarrow{}  B(abc)  {}\mRightarrow{}  B(ABC)  {}\mRightarrow{}  ab  \mcong{}  AB  {}\mRightarrow{}  bc  \mcong{}  BC  {}\mRightarrow{}  ad  \mcong{}  AD  {}\mRightarrow{}  bd  \mcong{}  BD  {}\mRightarrow{}  cd  \mcong{}  CD)
12.  \mforall{}a,b,c,x,y:Point.    (ax  \mcong{}  ay  {}\mRightarrow{}  bx  \mcong{}  by  {}\mRightarrow{}  cx  \mcong{}  cy  {}\mRightarrow{}  x  \#  y  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}a  \#  bc))
13.  \mforall{}a,b,x,y,z:Point.    (x  leftof  ab  {}\mRightarrow{}  y  leftof  ab  {}\mRightarrow{}  B(xzy)  {}\mRightarrow{}  z  leftof  ab)
14.  \mforall{}a,b,c,y:Point.    (a  \#  bc  {}\mRightarrow{}  y  \#  b  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}y  \#  ab)  {}\mRightarrow{}  y  \#  bc)
15.  a  :  Point
16.  b1  :  Point
17.  b2  :  Point
18.  c  :  Point
19.  b1  \mequiv{}  b2
20.  B(ab1c)
21.  \mforall{}a:Point.  a  \mequiv{}  a
22.  \mforall{}a,b:Point.    ab  \mcong{}  ba
23.  \mforall{}a,b,c:Point.    (a  \mequiv{}  b  {}\mRightarrow{}  ac  \mcong{}  bc)
24.  \mforall{}a,b:Point.    (a  \#  b  {}\mRightarrow{}  b  \#  a)
\mvdash{}  B(ab2c)


By

---

Latex:
((Assert  \mforall{}a,b,x,y:Point.    ((\mneg{}ab>aa)  {}\mRightarrow{}  a  leftof  xy  {}\mRightarrow{}  b  leftof  xy)  BY
                (Auto
                  THEN  (Assert  B(a1ba1)  BY
                                          (Unfold  `geo-between`  0
                                            THEN  Auto
                                            THEN  (D  0  THEN  Auto)
                                            THEN  Unfold  `geo-lsep`  -1
                                            THEN  D  -1
                                            THEN  Auto))
                  THEN  InstHyp  [\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}y\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{}]  (13)\mcdot{}
                  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  \mforall{}a,b,c,d,e1,f:Point.    (ab  \mgeq{}  cd  {}\mRightarrow{}  cd  \mgeq{}  e1f  {}\mRightarrow{}  ab  \mgeq{}  e1f)  BY
                          (Intros  THEN  RepeatFor  2  (ParallelLast)  THEN  Auto))
  )

---

Home Index