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of Lemma
basic-axioms-imply_between2
1. e : EuclideanPlaneStructure
2. ∀a,b,c,d:Point. (ab>cd ⇒ ab ≥ cd)
3. ∀a,b,c:Point. (ba>ac ⇒ b # c)
4. ∀a,b,c:Point. bc ≥ aa
5. ∀a,b,c,d,e@0,f:Point. (ab>cd ⇒ cd ≥ e@0f ⇒ ab>e@0f)
6. ∀a,b,c,d,e@0,f:Point. (ab ≥ cd ⇒ cd>e@0f ⇒ ab>e@0f)
7. ∀a,b,c:Point. (B(abc) ⇒ b # c ⇒ ac>ab)
8. ∀a,b,c:Point. (a leftof bc ⇒ b leftof ca)
9. ∀a,b,c:Point. (a leftof bc ⇒ b # c)
10. ∀a,b,c,d:Point. (B(abd) ⇒ B(bcd) ⇒ B(abc))
11. ∀a,b,c,d,A,B,C,D:Point. (a # b ⇒ B(abc) ⇒ B(ABC) ⇒ ab ≅ AB ⇒ bc ≅ BC ⇒ ad ≅ AD ⇒ bd ≅ BD ⇒ cd ≅ CD)
12. ∀a,b,c,x,y:Point. (ax ≅ ay ⇒ bx ≅ by ⇒ cx ≅ cy ⇒ x # y ⇒ (¬a # bc))
13. ∀a,b,x,y,z:Point. (x leftof ab ⇒ y leftof ab ⇒ B(xzy) ⇒ z leftof ab)
14. ∀a,b,c,y:Point. (a # bc ⇒ y # b ⇒ (¬y # ab) ⇒ y # bc)
15. a : Point
16. b1 : Point
17. b2 : Point
18. c : Point
19. b1 ≡ b2
20. B(ab1c)
21. ∀a:Point. a ≡ a
22. ∀a,b:Point. ab ≅ ba
23. ∀a,b,c:Point. (a ≡ b ⇒ ac ≅ bc)
24. ∀a,b:Point. (a # b ⇒ b # a)
25. ∀a,b,x,y:Point. ((¬ab>aa) ⇒ a leftof xy ⇒ b leftof xy)
26. ∀a,b,c,d,e1,f:Point. (ab ≥ cd ⇒ cd ≥ e1f ⇒ ab ≥ e1f)
⊢ B(ab2c)
BY
{ (ParallelOp -7 THEN All (Fold `geo-ge`) THEN RepeatFor 2 (ParallelOp -7)) }
1
1. e : EuclideanPlaneStructure
2. ∀a,b,c,d:Point. (ab>cd ⇒ ab ≥ cd)
3. ∀a,b,c:Point. (ba>ac ⇒ b # c)
4. ∀a,b,c:Point. bc ≥ aa
5. ∀a,b,c,d,e@0,f:Point. (ab>cd ⇒ cd ≥ e@0f ⇒ ab>e@0f)
6. ∀a,b,c,d,e@0,f:Point. (ab ≥ cd ⇒ cd>e@0f ⇒ ab>e@0f)
7. ∀a,b,c:Point. (B(abc) ⇒ b # c ⇒ ac>ab)
8. ∀a,b,c:Point. (a leftof bc ⇒ b leftof ca)
9. ∀a,b,c:Point. (a leftof bc ⇒ b # c)
10. ∀a,b,c,d:Point. (B(abd) ⇒ B(bcd) ⇒ B(abc))
11. ∀a,b,c,d,A,B,C,D:Point. (a # b ⇒ B(abc) ⇒ B(ABC) ⇒ ab ≅ AB ⇒ bc ≅ BC ⇒ ad ≅ AD ⇒ bd ≅ BD ⇒ cd ≅ CD)
12. ∀a,b,c,x,y:Point. (ax ≅ ay ⇒ bx ≅ by ⇒ cx ≅ cy ⇒ x # y ⇒ (¬a # bc))
13. ∀a,b,x,y,z:Point. (x leftof ab ⇒ y leftof ab ⇒ B(xzy) ⇒ z leftof ab)
14. ∀a,b,c,y:Point. (a # bc ⇒ y # b ⇒ (¬y # ab) ⇒ y # bc)
15. a : Point
16. b1 : Point
17. b2 : Point
18. c : Point
19. b1 ≡ b2
20. ¬a # b1c
21. ac ≥ b1c
22. ac ≥ ab1
23. ∀a:Point. a ≡ a
24. ∀a,b:Point. ab ≅ ba
25. ∀a,b,c:Point. (a ≡ b ⇒ ac ≅ bc)
26. ∀a,b:Point. (a # b ⇒ b # a)
27. ∀a,b,x,y:Point. (aa ≥ ab ⇒ a leftof xy ⇒ b leftof xy)
28. ∀a,b,c,d,e1,f:Point. (ab ≥ cd ⇒ cd ≥ e1f ⇒ ab ≥ e1f)
⊢ ac ≥ ab2
2
1. e : EuclideanPlaneStructure
2. ∀a,b,c,d:Point. (ab>cd ⇒ ab ≥ cd)
3. ∀a,b,c:Point. (ba>ac ⇒ b # c)
4. ∀a,b,c:Point. bc ≥ aa
5. ∀a,b,c,d,e@0,f:Point. (ab>cd ⇒ cd ≥ e@0f ⇒ ab>e@0f)
6. ∀a,b,c,d,e@0,f:Point. (ab ≥ cd ⇒ cd>e@0f ⇒ ab>e@0f)
7. ∀a,b,c:Point. (B(abc) ⇒ b # c ⇒ ac>ab)
8. ∀a,b,c:Point. (a leftof bc ⇒ b leftof ca)
9. ∀a,b,c:Point. (a leftof bc ⇒ b # c)
10. ∀a,b,c,d:Point. (B(abd) ⇒ B(bcd) ⇒ B(abc))
11. ∀a,b,c,d,A,B,C,D:Point. (a # b ⇒ B(abc) ⇒ B(ABC) ⇒ ab ≅ AB ⇒ bc ≅ BC ⇒ ad ≅ AD ⇒ bd ≅ BD ⇒ cd ≅ CD)
12. ∀a,b,c,x,y:Point. (ax ≅ ay ⇒ bx ≅ by ⇒ cx ≅ cy ⇒ x # y ⇒ (¬a # bc))
13. ∀a,b,x,y,z:Point. (x leftof ab ⇒ y leftof ab ⇒ B(xzy) ⇒ z leftof ab)
14. ∀a,b,c,y:Point. (a # bc ⇒ y # b ⇒ (¬y # ab) ⇒ y # bc)
15. a : Point
16. b1 : Point
17. b2 : Point
18. c : Point
19. b1 ≡ b2
20. ¬a # b1c
21. ac ≥ ab1
22. ac ≥ b1c
23. ∀a:Point. a ≡ a
24. ∀a,b:Point. ab ≅ ba
25. ∀a,b,c:Point. (a ≡ b ⇒ ac ≅ bc)
26. ∀a,b:Point. (a # b ⇒ b # a)
27. ∀a,b,x,y:Point. (aa ≥ ab ⇒ a leftof xy ⇒ b leftof xy)
28. ∀a,b,c,d,e1,f:Point. (ab ≥ cd ⇒ cd ≥ e1f ⇒ ab ≥ e1f)
⊢ ac ≥ b2c
3
1. e : EuclideanPlaneStructure
2. ∀a,b,c,d:Point. (ab>cd ⇒ ab ≥ cd)
3. ∀a,b,c:Point. (ba>ac ⇒ b # c)
4. ∀a,b,c:Point. bc ≥ aa
5. ∀a,b,c,d,e@0,f:Point. (ab>cd ⇒ cd ≥ e@0f ⇒ ab>e@0f)
6. ∀a,b,c,d,e@0,f:Point. (ab ≥ cd ⇒ cd>e@0f ⇒ ab>e@0f)
7. ∀a,b,c:Point. (B(abc) ⇒ b # c ⇒ ac>ab)
8. ∀a,b,c:Point. (a leftof bc ⇒ b leftof ca)
9. ∀a,b,c:Point. (a leftof bc ⇒ b # c)
10. ∀a,b,c,d:Point. (B(abd) ⇒ B(bcd) ⇒ B(abc))
11. ∀a,b,c,d,A,B,C,D:Point. (a # b ⇒ B(abc) ⇒ B(ABC) ⇒ ab ≅ AB ⇒ bc ≅ BC ⇒ ad ≅ AD ⇒ bd ≅ BD ⇒ cd ≅ CD)
12. ∀a,b,c,x,y:Point. (ax ≅ ay ⇒ bx ≅ by ⇒ cx ≅ cy ⇒ x # y ⇒ (¬a # bc))
13. ∀a,b,x,y,z:Point. (x leftof ab ⇒ y leftof ab ⇒ B(xzy) ⇒ z leftof ab)
14. ∀a,b,c,y:Point. (a # bc ⇒ y # b ⇒ (¬y # ab) ⇒ y # bc)
15. a : Point
16. b1 : Point
17. b2 : Point
18. c : Point
19. b1 ≡ b2
20. ac ≥ ab1 ∧ ac ≥ b1c
21. ∀a:Point. a ≡ a
22. ∀a,b:Point. ab ≅ ba
23. ∀a,b,c:Point. (a ≡ b ⇒ ac ≅ bc)
24. ∀a,b:Point. (a # b ⇒ b # a)
25. ∀a,b,x,y:Point. (aa ≥ ab ⇒ a leftof xy ⇒ b leftof xy)
26. ∀a,b,c,d,e1,f:Point. (ab ≥ cd ⇒ cd ≥ e1f ⇒ ab ≥ e1f)
27. a # b2c
⊢ a # b1c
Latex:
Latex:
1. e : EuclideanPlaneStructure
2. \mforall{}a,b,c,d:Point. (ab>cd {}\mRightarrow{} ab \mgeq{} cd)
3. \mforall{}a,b,c:Point. (ba>ac {}\mRightarrow{} b \# c)
4. \mforall{}a,b,c:Point. bc \mgeq{} aa
5. \mforall{}a,b,c,d,e@0,f:Point. (ab>cd {}\mRightarrow{} cd \mgeq{} e@0f {}\mRightarrow{} ab>e@0f)
6. \mforall{}a,b,c,d,e@0,f:Point. (ab \mgeq{} cd {}\mRightarrow{} cd>e@0f {}\mRightarrow{} ab>e@0f)
7. \mforall{}a,b,c:Point. (B(abc) {}\mRightarrow{} b \# c {}\mRightarrow{} ac>ab)
8. \mforall{}a,b,c:Point. (a leftof bc {}\mRightarrow{} b leftof ca)
9. \mforall{}a,b,c:Point. (a leftof bc {}\mRightarrow{} b \# c)
10. \mforall{}a,b,c,d:Point. (B(abd) {}\mRightarrow{} B(bcd) {}\mRightarrow{} B(abc))
11. \mforall{}a,b,c,d,A,B,C,D:Point.
(a \# b {}\mRightarrow{} B(abc) {}\mRightarrow{} B(ABC) {}\mRightarrow{} ab \mcong{} AB {}\mRightarrow{} bc \mcong{} BC {}\mRightarrow{} ad \mcong{} AD {}\mRightarrow{} bd \mcong{} BD {}\mRightarrow{} cd \mcong{} CD)
12. \mforall{}a,b,c,x,y:Point. (ax \mcong{} ay {}\mRightarrow{} bx \mcong{} by {}\mRightarrow{} cx \mcong{} cy {}\mRightarrow{} x \# y {}\mRightarrow{} (\mneg{}a \# bc))
13. \mforall{}a,b,x,y,z:Point. (x leftof ab {}\mRightarrow{} y leftof ab {}\mRightarrow{} B(xzy) {}\mRightarrow{} z leftof ab)
14. \mforall{}a,b,c,y:Point. (a \# bc {}\mRightarrow{} y \# b {}\mRightarrow{} (\mneg{}y \# ab) {}\mRightarrow{} y \# bc)
15. a : Point
16. b1 : Point
17. b2 : Point
18. c : Point
19. b1 \mequiv{} b2
20. B(ab1c)
21. \mforall{}a:Point. a \mequiv{} a
22. \mforall{}a,b:Point. ab \mcong{} ba
23. \mforall{}a,b,c:Point. (a \mequiv{} b {}\mRightarrow{} ac \mcong{} bc)
24. \mforall{}a,b:Point. (a \# b {}\mRightarrow{} b \# a)
25. \mforall{}a,b,x,y:Point. ((\mneg{}ab>aa) {}\mRightarrow{} a leftof xy {}\mRightarrow{} b leftof xy)
26. \mforall{}a,b,c,d,e1,f:Point. (ab \mgeq{} cd {}\mRightarrow{} cd \mgeq{} e1f {}\mRightarrow{} ab \mgeq{} e1f)
\mvdash{} B(ab2c)
By
Latex:
(ParallelOp -7 THEN All (Fold `geo-ge`) THEN RepeatFor 2 (ParallelOp -7))
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