---

Step * 5 of Lemma eu-eq_dist-axiomsC-Pasch


1. e : EuclideanPlane
2. x : Point
3. y : Point
4. z : Point
5. u : Point
6. t : Point
7. Dbet(e;x;t;u)
8. Dsep(e;x;t)
9. Dbet(e;y;u;z)
10. Dtri(e;x;y;u)
11. Dtri(e;u;z;t)
12. ∀A,B,C:Point.  (A # BC ⇒ |AC| < |AB| + |BC|)
13. ∃p:Point [(z-t-p ∧ y-p-x)]
⊢ ∃v:Point. ((Dbet(e;x;v;y) ∧ Dsep(e;x;v) ∧ Dsep(e;v;y)) ∧ Dbet(e;z;t;v) ∧ Dsep(e;z;t) ∧ Dsep(e;t;v))
BY
{ (ExRepD THEN D 0 With ⌜p⌝  THEN Auto) }

1
1. e : EuclideanPlane
2. x : Point
3. y : Point
4. z : Point
5. u : Point
6. t : Point
7. Dbet(e;x;t;u)
8. Dsep(e;x;t)
9. Dbet(e;y;u;z)
10. Dtri(e;x;y;u)
11. Dtri(e;u;z;t)
12. ∀A,B,C:Point.  (A # BC ⇒ |AC| < |AB| + |BC|)
13. p : Point
14. z-t-p
15. y-p-x
⊢ Dbet(e;x;p;y)

2
1. e : EuclideanPlane
2. x : Point
3. y : Point
4. z : Point
5. u : Point
6. t : Point
7. Dbet(e;x;t;u)
8. Dsep(e;x;t)
9. Dbet(e;y;u;z)
10. Dtri(e;x;y;u)
11. Dtri(e;u;z;t)
12. ∀A,B,C:Point.  (A # BC ⇒ |AC| < |AB| + |BC|)
13. p : Point
14. z-t-p
15. y-p-x
16. Dbet(e;x;p;y)
⊢ Dsep(e;x;p)

3
1. e : EuclideanPlane
2. x : Point
3. y : Point
4. z : Point
5. u : Point
6. t : Point
7. Dbet(e;x;t;u)
8. Dsep(e;x;t)
9. Dbet(e;y;u;z)
10. Dtri(e;x;y;u)
11. Dtri(e;u;z;t)
12. ∀A,B,C:Point.  (A # BC ⇒ |AC| < |AB| + |BC|)
13. p : Point
14. z-t-p
15. y-p-x
16. Dbet(e;x;p;y)
17. Dsep(e;x;p)
⊢ Dsep(e;p;y)

4
1. e : EuclideanPlane
2. x : Point
3. y : Point
4. z : Point
5. u : Point
6. t : Point
7. Dbet(e;x;t;u)
8. Dsep(e;x;t)
9. Dbet(e;y;u;z)
10. Dtri(e;x;y;u)
11. Dtri(e;u;z;t)
12. ∀A,B,C:Point.  (A # BC ⇒ |AC| < |AB| + |BC|)
13. p : Point
14. z-t-p
15. y-p-x
16. Dbet(e;x;p;y)
17. Dsep(e;x;p)
18. Dsep(e;p;y)
⊢ Dbet(e;z;t;p)

5
1. e : EuclideanPlane
2. x : Point
3. y : Point
4. z : Point
5. u : Point
6. t : Point
7. Dbet(e;x;t;u)
8. Dsep(e;x;t)
9. Dbet(e;y;u;z)
10. Dtri(e;x;y;u)
11. Dtri(e;u;z;t)
12. ∀A,B,C:Point.  (A # BC ⇒ |AC| < |AB| + |BC|)
13. p : Point
14. z-t-p
15. y-p-x
16. Dbet(e;x;p;y)
17. Dsep(e;x;p)
18. Dsep(e;p;y)
19. Dbet(e;z;t;p)
⊢ Dsep(e;z;t)

6
1. e : EuclideanPlane
2. x : Point
3. y : Point
4. z : Point
5. u : Point
6. t : Point
7. Dbet(e;x;t;u)
8. Dsep(e;x;t)
9. Dbet(e;y;u;z)
10. Dtri(e;x;y;u)
11. Dtri(e;u;z;t)
12. ∀A,B,C:Point.  (A # BC ⇒ |AC| < |AB| + |BC|)
13. p : Point
14. z-t-p
15. y-p-x
16. Dbet(e;x;p;y)
17. Dsep(e;x;p)
18. Dsep(e;p;y)
19. Dbet(e;z;t;p)
20. Dsep(e;z;t)
⊢ Dsep(e;t;p)

---

Latex:

---

Latex:

1.  e  :  EuclideanPlane
2.  x  :  Point
3.  y  :  Point
4.  z  :  Point
5.  u  :  Point
6.  t  :  Point
7.  Dbet(e;x;t;u)
8.  Dsep(e;x;t)
9.  Dbet(e;y;u;z)
10.  Dtri(e;x;y;u)
11.  Dtri(e;u;z;t)
12.  \mforall{}A,B,C:Point.    (A  \#  BC  {}\mRightarrow{}  |AC|  <  |AB|  +  |BC|)
13.  \mexists{}p:Point  [(z-t-p  \mwedge{}  y-p-x)]
\mvdash{}  \mexists{}v:Point
      ((Dbet(e;x;v;y)  \mwedge{}  Dsep(e;x;v)  \mwedge{}  Dsep(e;v;y))  \mwedge{}  Dbet(e;z;t;v)  \mwedge{}  Dsep(e;z;t)  \mwedge{}  Dsep(e;t;v))


By

---

Latex:
(ExRepD  THEN  D  0  With  \mkleeneopen{}p\mkleeneclose{}    THEN  Auto)

---

Home Index