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of Lemma
euclidean-plane-axioms
1. g : EuclideanPlane
2. ∀a,b,c,d:Point. (ab>cd ⇒ ab ≥ cd)
3. ∀a,b,c:Point. (ba>ac ⇒ b # c)
4. ∀a,b,c:Point. bc ≥ aa
5. ∀a,b,c,d,e,f:Point. (ab>cd ⇒ cd ≥ ef ⇒ ab>ef)
6. ∀a,b,c,d,e,f:Point. (ab ≥ cd ⇒ cd>ef ⇒ ab>ef)
7. ∀a,b,c:Point. (B(abc) ⇒ b # c ⇒ ac>ab)
8. ∀a,b,c:Point. (a leftof bc ⇒ b leftof ca)
9. ∀a,b,c:Point. (a leftof bc ⇒ b # c)
10. ∀a,b,c,d:Point. (B(abd) ⇒ B(bcd) ⇒ B(abc))
11. ∀a,b,c,d,A,B,C,D:Point. (a # b ⇒ B(abc) ⇒ B(ABC) ⇒ ab ≅ AB ⇒ bc ≅ BC ⇒ ad ≅ AD ⇒ bd ≅ BD ⇒ cd ≅ CD)
12. ∀a,b,c,x,y:Point. (ax ≅ ay ⇒ bx ≅ by ⇒ cx ≅ cy ⇒ x # y ⇒ (¬a # bc))
13. ∀a,b,x,y,z:Point. (x leftof ab ⇒ y leftof ab ⇒ B(xzy) ⇒ z leftof ab)
14. ∀a,b,c,y:Point. (a # bc ⇒ y # b ⇒ (¬y # ab) ⇒ y # bc)
15. ∀a,b,c:Point. (a # bc ⇒ (¬Colinear(a;b;c)))
16. SqStable(geo-left-axioms(g))
17. ∀a:Point. a ≡ a
18. ∀a,b:Point. ab ≅ ba
19. ∀a,b,c:Point. (a ≡ b ⇒ ac ≅ bc)
20. ∀a,b:Point. (a # b ⇒ b # a)
21. a : Point
22. b : Point
23. x : Point
24. y : Point
25. ¬a # b
26. B(xay)
27. ∀a,b,x,y:Point. ((¬a # b) ⇒ a leftof xy ⇒ b leftof xy)
28. ¬b # a
29. ∀a,b,c,d,e,f:Point. (ab ≥ cd ⇒ cd ≥ ef ⇒ ab ≥ ef)
⊢ B(xby)
BY
{ (ParallelOp -4 THEN All (Fold `geo-ge`) THEN RepeatFor 2 (ParallelOp -4)) }
1
1. g : EuclideanPlane
2. ∀a,b,c,d:Point. (ab>cd ⇒ ab ≥ cd)
3. ∀a,b,c:Point. (ba>ac ⇒ b # c)
4. ∀a,b,c:Point. bc ≥ aa
5. ∀a,b,c,d,e,f:Point. (ab>cd ⇒ cd ≥ ef ⇒ ab>ef)
6. ∀a,b,c,d,e,f:Point. (ab ≥ cd ⇒ cd>ef ⇒ ab>ef)
7. ∀a,b,c:Point. (B(abc) ⇒ b # c ⇒ ac>ab)
8. ∀a,b,c:Point. (a leftof bc ⇒ b leftof ca)
9. ∀a,b,c:Point. (a leftof bc ⇒ b # c)
10. ∀a,b,c,d:Point. (B(abd) ⇒ B(bcd) ⇒ B(abc))
11. ∀a,b,c,d,A,B,C,D:Point. (a # b ⇒ B(abc) ⇒ B(ABC) ⇒ ab ≅ AB ⇒ bc ≅ BC ⇒ ad ≅ AD ⇒ bd ≅ BD ⇒ cd ≅ CD)
12. ∀a,b,c,x,y:Point. (ax ≅ ay ⇒ bx ≅ by ⇒ cx ≅ cy ⇒ x # y ⇒ (¬a # bc))
13. ∀a,b,x,y,z:Point. (x leftof ab ⇒ y leftof ab ⇒ B(xzy) ⇒ z leftof ab)
14. ∀a,b,c,y:Point. (a # bc ⇒ y # b ⇒ (¬y # ab) ⇒ y # bc)
15. ∀a,b,c:Point. (a # bc ⇒ (¬Colinear(a;b;c)))
16. SqStable(geo-left-axioms(g))
17. ∀a:Point. a ≡ a
18. ∀a,b:Point. ab ≅ ba
19. ∀a,b,c:Point. (a ≡ b ⇒ ac ≅ bc)
20. ∀a,b:Point. (a # b ⇒ b # a)
21. a : Point
22. b : Point
23. x : Point
24. y : Point
25. ¬a # b
26. ¬x # ay
27. xy ≥ ay
28. xy ≥ xa
29. ∀a,b,x,y:Point. ((¬a # b) ⇒ a leftof xy ⇒ b leftof xy)
30. ¬b # a
31. ∀a,b,c,d,e,f:Point. (ab ≥ cd ⇒ cd ≥ ef ⇒ ab ≥ ef)
⊢ xy ≥ xb
2
1. g : EuclideanPlane
2. ∀a,b,c,d:Point. (ab>cd ⇒ ab ≥ cd)
3. ∀a,b,c:Point. (ba>ac ⇒ b # c)
4. ∀a,b,c:Point. bc ≥ aa
5. ∀a,b,c,d,e,f:Point. (ab>cd ⇒ cd ≥ ef ⇒ ab>ef)
6. ∀a,b,c,d,e,f:Point. (ab ≥ cd ⇒ cd>ef ⇒ ab>ef)
7. ∀a,b,c:Point. (B(abc) ⇒ b # c ⇒ ac>ab)
8. ∀a,b,c:Point. (a leftof bc ⇒ b leftof ca)
9. ∀a,b,c:Point. (a leftof bc ⇒ b # c)
10. ∀a,b,c,d:Point. (B(abd) ⇒ B(bcd) ⇒ B(abc))
11. ∀a,b,c,d,A,B,C,D:Point. (a # b ⇒ B(abc) ⇒ B(ABC) ⇒ ab ≅ AB ⇒ bc ≅ BC ⇒ ad ≅ AD ⇒ bd ≅ BD ⇒ cd ≅ CD)
12. ∀a,b,c,x,y:Point. (ax ≅ ay ⇒ bx ≅ by ⇒ cx ≅ cy ⇒ x # y ⇒ (¬a # bc))
13. ∀a,b,x,y,z:Point. (x leftof ab ⇒ y leftof ab ⇒ B(xzy) ⇒ z leftof ab)
14. ∀a,b,c,y:Point. (a # bc ⇒ y # b ⇒ (¬y # ab) ⇒ y # bc)
15. ∀a,b,c:Point. (a # bc ⇒ (¬Colinear(a;b;c)))
16. SqStable(geo-left-axioms(g))
17. ∀a:Point. a ≡ a
18. ∀a,b:Point. ab ≅ ba
19. ∀a,b,c:Point. (a ≡ b ⇒ ac ≅ bc)
20. ∀a,b:Point. (a # b ⇒ b # a)
21. a : Point
22. b : Point
23. x : Point
24. y : Point
25. ¬a # b
26. ¬x # ay
27. xy ≥ xa
28. xy ≥ ay
29. ∀a,b,x,y:Point. ((¬a # b) ⇒ a leftof xy ⇒ b leftof xy)
30. ¬b # a
31. ∀a,b,c,d,e,f:Point. (ab ≥ cd ⇒ cd ≥ ef ⇒ ab ≥ ef)
⊢ xy ≥ by
3
1. g : EuclideanPlane
2. ∀a,b,c,d:Point. (ab>cd ⇒ ab ≥ cd)
3. ∀a,b,c:Point. (ba>ac ⇒ b # c)
4. ∀a,b,c:Point. bc ≥ aa
5. ∀a,b,c,d,e,f:Point. (ab>cd ⇒ cd ≥ ef ⇒ ab>ef)
6. ∀a,b,c,d,e,f:Point. (ab ≥ cd ⇒ cd>ef ⇒ ab>ef)
7. ∀a,b,c:Point. (B(abc) ⇒ b # c ⇒ ac>ab)
8. ∀a,b,c:Point. (a leftof bc ⇒ b leftof ca)
9. ∀a,b,c:Point. (a leftof bc ⇒ b # c)
10. ∀a,b,c,d:Point. (B(abd) ⇒ B(bcd) ⇒ B(abc))
11. ∀a,b,c,d,A,B,C,D:Point. (a # b ⇒ B(abc) ⇒ B(ABC) ⇒ ab ≅ AB ⇒ bc ≅ BC ⇒ ad ≅ AD ⇒ bd ≅ BD ⇒ cd ≅ CD)
12. ∀a,b,c,x,y:Point. (ax ≅ ay ⇒ bx ≅ by ⇒ cx ≅ cy ⇒ x # y ⇒ (¬a # bc))
13. ∀a,b,x,y,z:Point. (x leftof ab ⇒ y leftof ab ⇒ B(xzy) ⇒ z leftof ab)
14. ∀a,b,c,y:Point. (a # bc ⇒ y # b ⇒ (¬y # ab) ⇒ y # bc)
15. ∀a,b,c:Point. (a # bc ⇒ (¬Colinear(a;b;c)))
16. SqStable(geo-left-axioms(g))
17. ∀a:Point. a ≡ a
18. ∀a,b:Point. ab ≅ ba
19. ∀a,b,c:Point. (a ≡ b ⇒ ac ≅ bc)
20. ∀a,b:Point. (a # b ⇒ b # a)
21. a : Point
22. b : Point
23. x : Point
24. y : Point
25. ¬a # b
26. xy ≥ xa ∧ xy ≥ ay
27. ∀a,b,x,y:Point. ((¬a # b) ⇒ a leftof xy ⇒ b leftof xy)
28. ¬b # a
29. ∀a,b,c,d,e,f:Point. (ab ≥ cd ⇒ cd ≥ ef ⇒ ab ≥ ef)
30. x # by
⊢ x # ay
Latex:
Latex:
1. g : EuclideanPlane
2. \mforall{}a,b,c,d:Point. (ab>cd {}\mRightarrow{} ab \mgeq{} cd)
3. \mforall{}a,b,c:Point. (ba>ac {}\mRightarrow{} b \# c)
4. \mforall{}a,b,c:Point. bc \mgeq{} aa
5. \mforall{}a,b,c,d,e,f:Point. (ab>cd {}\mRightarrow{} cd \mgeq{} ef {}\mRightarrow{} ab>ef)
6. \mforall{}a,b,c,d,e,f:Point. (ab \mgeq{} cd {}\mRightarrow{} cd>ef {}\mRightarrow{} ab>ef)
7. \mforall{}a,b,c:Point. (B(abc) {}\mRightarrow{} b \# c {}\mRightarrow{} ac>ab)
8. \mforall{}a,b,c:Point. (a leftof bc {}\mRightarrow{} b leftof ca)
9. \mforall{}a,b,c:Point. (a leftof bc {}\mRightarrow{} b \# c)
10. \mforall{}a,b,c,d:Point. (B(abd) {}\mRightarrow{} B(bcd) {}\mRightarrow{} B(abc))
11. \mforall{}a,b,c,d,A,B,C,D:Point.
(a \# b {}\mRightarrow{} B(abc) {}\mRightarrow{} B(ABC) {}\mRightarrow{} ab \mcong{} AB {}\mRightarrow{} bc \mcong{} BC {}\mRightarrow{} ad \mcong{} AD {}\mRightarrow{} bd \mcong{} BD {}\mRightarrow{} cd \mcong{} CD)
12. \mforall{}a,b,c,x,y:Point. (ax \mcong{} ay {}\mRightarrow{} bx \mcong{} by {}\mRightarrow{} cx \mcong{} cy {}\mRightarrow{} x \# y {}\mRightarrow{} (\mneg{}a \# bc))
13. \mforall{}a,b,x,y,z:Point. (x leftof ab {}\mRightarrow{} y leftof ab {}\mRightarrow{} B(xzy) {}\mRightarrow{} z leftof ab)
14. \mforall{}a,b,c,y:Point. (a \# bc {}\mRightarrow{} y \# b {}\mRightarrow{} (\mneg{}y \# ab) {}\mRightarrow{} y \# bc)
15. \mforall{}a,b,c:Point. (a \# bc {}\mRightarrow{} (\mneg{}Colinear(a;b;c)))
16. SqStable(geo-left-axioms(g))
17. \mforall{}a:Point. a \mequiv{} a
18. \mforall{}a,b:Point. ab \mcong{} ba
19. \mforall{}a,b,c:Point. (a \mequiv{} b {}\mRightarrow{} ac \mcong{} bc)
20. \mforall{}a,b:Point. (a \# b {}\mRightarrow{} b \# a)
21. a : Point
22. b : Point
23. x : Point
24. y : Point
25. \mneg{}a \# b
26. B(xay)
27. \mforall{}a,b,x,y:Point. ((\mneg{}a \# b) {}\mRightarrow{} a leftof xy {}\mRightarrow{} b leftof xy)
28. \mneg{}b \# a
29. \mforall{}a,b,c,d,e,f:Point. (ab \mgeq{} cd {}\mRightarrow{} cd \mgeq{} ef {}\mRightarrow{} ab \mgeq{} ef)
\mvdash{} B(xby)
By
Latex:
(ParallelOp -4 THEN All (Fold `geo-ge`) THEN RepeatFor 2 (ParallelOp -4))
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