---

Step * 1 1 1 1 1 of Lemma euclidean-plane-axioms


1. g : EuclideanPlane
2. ∀a,b,c,d:Point.  (ab>cd ⇒ ab ≥ cd)
3. ∀a,b,c:Point.  (ba>ac ⇒ b # c)
4. ∀a,b,c:Point.  bc ≥ aa
5. ∀a,b,c,d,e,f:Point.  (ab>cd ⇒ cd ≥ ef ⇒ ab>ef)
6. ∀a,b,c,d,e,f:Point.  (ab ≥ cd ⇒ cd>ef ⇒ ab>ef)
7. ∀a,b,c:Point.  (B(abc) ⇒ b # c ⇒ ac>ab)
8. ∀a,b,c:Point.  (a leftof bc ⇒ b leftof ca)
9. ∀a,b,c:Point.  (a leftof bc ⇒ b # c)
10. ∀a,b,c,d:Point.  (B(abd) ⇒ B(bcd) ⇒ B(abc))
11. ∀a,b,c,d,A,B,C,D:Point.  (a # b ⇒ B(abc) ⇒ B(ABC) ⇒ ab ≅ AB ⇒ bc ≅ BC ⇒ ad ≅ AD ⇒ bd ≅ BD ⇒ cd ≅ CD)
12. ∀a,b,c,x,y:Point.  (ax ≅ ay ⇒ bx ≅ by ⇒ cx ≅ cy ⇒ x # y ⇒ (¬a # bc))
13. ∀a,b,x,y,z:Point.  (x leftof ab ⇒ y leftof ab ⇒ B(xzy) ⇒ z leftof ab)
14. ∀a,b,c,y:Point.  (a # bc ⇒ y # b ⇒ (¬y # ab) ⇒ y # bc)
15. ∀a,b,c:Point.  (a # bc ⇒ (¬Colinear(a;b;c)))
16. SqStable(geo-left-axioms(g))
17. ∀a:Point. a ≡ a
18. ∀a,b:Point.  ab ≅ ba
19. ∀a,b,c:Point.  (a ≡ b ⇒ ac ≅ bc)
20. ∀a,b:Point.  (a # b ⇒ b # a)
21. a : Point
22. b : Point
23. x : Point
24. y : Point
25. ¬a # b
26. ¬x # ay
27. xy ≥ ay
28. xy ≥ xa
29. ∀a,b,x,y:Point.  ((¬a # b) ⇒ a leftof xy ⇒ b leftof xy)
30. ¬b # a
31. ∀a,b,c,d,e,f:Point.  (ab ≥ cd ⇒ cd ≥ ef ⇒ ab ≥ ef)
⊢ xy ≥ xb
BY
{ ((Assert xa ≥ xb BY
          (Auto
           THEN (Assert xa ≥ bx BY
                       ((InstLemma  `geo-axiom-contrapositive` [⌜g⌝;⌜x⌝;⌜a⌝;⌜b⌝]⋅ THEN Auto) THEN D 0 THEN Auto))
           THEN (Assert bx ≥ xb BY
                       (D 0 THEN Auto))
           THEN Auto))
   THEN Auto
   ) }

1
.....aux..... 
1. g : EuclideanPlane
2. ∀a,b,c,d:Point.  (ab>cd ⇒ ab ≥ cd)
3. ∀a,b,c:Point.  (ba>ac ⇒ b # c)
4. ∀a,b,c:Point.  bc ≥ aa
5. ∀a,b,c,d,e,f:Point.  (ab>cd ⇒ cd ≥ ef ⇒ ab>ef)
6. ∀a,b,c,d,e,f:Point.  (ab ≥ cd ⇒ cd>ef ⇒ ab>ef)
7. ∀a,b,c:Point.  (B(abc) ⇒ b # c ⇒ ac>ab)
8. ∀a,b,c:Point.  (a leftof bc ⇒ b leftof ca)
9. ∀a,b,c:Point.  (a leftof bc ⇒ b # c)
10. ∀a,b,c,d:Point.  (B(abd) ⇒ B(bcd) ⇒ B(abc))
11. ∀a,b,c,d,A,B,C,D:Point.  (a # b ⇒ B(abc) ⇒ B(ABC) ⇒ ab ≅ AB ⇒ bc ≅ BC ⇒ ad ≅ AD ⇒ bd ≅ BD ⇒ cd ≅ CD)
12. ∀a,b,c,x,y:Point.  (ax ≅ ay ⇒ bx ≅ by ⇒ cx ≅ cy ⇒ x # y ⇒ (¬a # bc))
13. ∀a,b,x,y,z:Point.  (x leftof ab ⇒ y leftof ab ⇒ B(xzy) ⇒ z leftof ab)
14. ∀a,b,c,y:Point.  (a # bc ⇒ y # b ⇒ (¬y # ab) ⇒ y # bc)
15. ∀a,b,c:Point.  (a # bc ⇒ (¬Colinear(a;b;c)))
16. SqStable(geo-left-axioms(g))
17. ∀a:Point. a ≡ a
18. ∀a,b:Point.  ab ≅ ba
19. ∀a,b,c:Point.  (a ≡ b ⇒ ac ≅ bc)
20. ∀a,b:Point.  (a # b ⇒ b # a)
21. a : Point
22. b : Point
23. x : Point
24. y : Point
25. ¬a # b
26. ¬x # ay
27. xy ≥ ay
28. xy ≥ xa
29. ∀a,b,x,y:Point.  ((¬a # b) ⇒ a leftof xy ⇒ b leftof xy)
30. ¬b # a
31. ∀a,b,c,d,e,f:Point.  (ab ≥ cd ⇒ cd ≥ ef ⇒ ab ≥ ef)
32. xa ≥ bx
33. xb>bx
⊢ False

---

Latex:

---

Latex:

1.  g  :  EuclideanPlane
2.  \mforall{}a,b,c,d:Point.    (ab>cd  {}\mRightarrow{}  ab  \mgeq{}  cd)
3.  \mforall{}a,b,c:Point.    (ba>ac  {}\mRightarrow{}  b  \#  c)
4.  \mforall{}a,b,c:Point.    bc  \mgeq{}  aa
5.  \mforall{}a,b,c,d,e,f:Point.    (ab>cd  {}\mRightarrow{}  cd  \mgeq{}  ef  {}\mRightarrow{}  ab>ef)
6.  \mforall{}a,b,c,d,e,f:Point.    (ab  \mgeq{}  cd  {}\mRightarrow{}  cd>ef  {}\mRightarrow{}  ab>ef)
7.  \mforall{}a,b,c:Point.    (B(abc)  {}\mRightarrow{}  b  \#  c  {}\mRightarrow{}  ac>ab)
8.  \mforall{}a,b,c:Point.    (a  leftof  bc  {}\mRightarrow{}  b  leftof  ca)
9.  \mforall{}a,b,c:Point.    (a  leftof  bc  {}\mRightarrow{}  b  \#  c)
10.  \mforall{}a,b,c,d:Point.    (B(abd)  {}\mRightarrow{}  B(bcd)  {}\mRightarrow{}  B(abc))
11.  \mforall{}a,b,c,d,A,B,C,D:Point.
            (a  \#  b  {}\mRightarrow{}  B(abc)  {}\mRightarrow{}  B(ABC)  {}\mRightarrow{}  ab  \mcong{}  AB  {}\mRightarrow{}  bc  \mcong{}  BC  {}\mRightarrow{}  ad  \mcong{}  AD  {}\mRightarrow{}  bd  \mcong{}  BD  {}\mRightarrow{}  cd  \mcong{}  CD)
12.  \mforall{}a,b,c,x,y:Point.    (ax  \mcong{}  ay  {}\mRightarrow{}  bx  \mcong{}  by  {}\mRightarrow{}  cx  \mcong{}  cy  {}\mRightarrow{}  x  \#  y  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}a  \#  bc))
13.  \mforall{}a,b,x,y,z:Point.    (x  leftof  ab  {}\mRightarrow{}  y  leftof  ab  {}\mRightarrow{}  B(xzy)  {}\mRightarrow{}  z  leftof  ab)
14.  \mforall{}a,b,c,y:Point.    (a  \#  bc  {}\mRightarrow{}  y  \#  b  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}y  \#  ab)  {}\mRightarrow{}  y  \#  bc)
15.  \mforall{}a,b,c:Point.    (a  \#  bc  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}Colinear(a;b;c)))
16.  SqStable(geo-left-axioms(g))
17.  \mforall{}a:Point.  a  \mequiv{}  a
18.  \mforall{}a,b:Point.    ab  \mcong{}  ba
19.  \mforall{}a,b,c:Point.    (a  \mequiv{}  b  {}\mRightarrow{}  ac  \mcong{}  bc)
20.  \mforall{}a,b:Point.    (a  \#  b  {}\mRightarrow{}  b  \#  a)
21.  a  :  Point
22.  b  :  Point
23.  x  :  Point
24.  y  :  Point
25.  \mneg{}a  \#  b
26.  \mneg{}x  \#  ay
27.  xy  \mgeq{}  ay
28.  xy  \mgeq{}  xa
29.  \mforall{}a,b,x,y:Point.    ((\mneg{}a  \#  b)  {}\mRightarrow{}  a  leftof  xy  {}\mRightarrow{}  b  leftof  xy)
30.  \mneg{}b  \#  a
31.  \mforall{}a,b,c,d,e,f:Point.    (ab  \mgeq{}  cd  {}\mRightarrow{}  cd  \mgeq{}  ef  {}\mRightarrow{}  ab  \mgeq{}  ef)
\mvdash{}  xy  \mgeq{}  xb


By

---

Latex:
((Assert  xa  \mgeq{}  xb  BY
                (Auto
                  THEN  (Assert  xa  \mgeq{}  bx  BY
                                          ((InstLemma    `geo-axiom-contrapositive`  [\mkleeneopen{}g\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THEN  Auto)
                                            THEN  D  0
                                            THEN  Auto))
                  THEN  (Assert  bx  \mgeq{}  xb  BY
                                          (D  0  THEN  Auto))
                  THEN  Auto))
  THEN  Auto
  )

---

Home Index