---

Step * 1 1 of Lemma geo-lt-angle-triangle-point-exists


1. e : EuclideanPlane
2. a : Point
3. b : Point
4. c : Point
5. x : Point
6. y : Point
7. z : Point
8. ¬out(y xz)
9. p : Point
10. p' : Point
11. x' : Point
12. z' : Point
13. abc ≅a xyp
14. y_p'_p
15. out(y xx')
16. out(y zz')
17. ¬x_y_p
18. x'_p'_z'
19. p' ≠ z'
20. a # bc
21. x # yz
⊢ ∃p:Point. (x-p-z ∧ xyp ≅a abc)
BY
{ ((Assert x' # yz' BY
          (InstLemma `out-preserves-lsep` [⌜e⌝;⌜y⌝;⌜x⌝;⌜z⌝;⌜x'⌝;⌜z'⌝]⋅ THEN EAuto 1))
   THEN (((Assert p' # yz BY
                 ((Assert x' # yz' BY EAuto 1) THEN EAuto 1))
          THEN (Assert out(y pp') BY
                      (((Assert y ≠ p BY Auto) THEN (Assert y ≠ p' BY Auto))
                       THEN InstLemma `geo-between-out` [⌜e⌝]⋅
                       THEN EAuto 1))
          )
         THEN (Assert abc ≅a x'yp' BY
                     (InstLemma `out-preserves-angle-cong_1` [⌜e⌝;⌜a⌝;⌜b⌝;⌜c⌝;⌜x⌝;⌜y⌝;⌜p⌝;⌜a⌝;⌜c⌝;⌜x'⌝;⌜p'⌝]⋅
                      THEN EAuto 1
                      ))
         )
   THEN InstLemma `geo-out-interior-point-exists` [⌜e⌝;⌜x'⌝;⌜y⌝;⌜z'⌝;⌜x⌝;⌜z⌝;⌜p'⌝]⋅
   THEN EAuto 1) }

1
.....antecedent..... 
1. e : EuclideanPlane
2. a : Point
3. b : Point
4. c : Point
5. x : Point
6. y : Point
7. z : Point
8. ¬out(y xz)
9. p : Point
10. p' : Point
11. x' : Point
12. z' : Point
13. abc ≅a xyp
14. y_p'_p
15. out(y xx')
16. out(y zz')
17. ¬x_y_p
18. x'_p'_z'
19. p' ≠ z'
20. a # bc
21. x # yz
22. x' # yz'
23. p' # yz
24. out(y pp')
25. abc ≅a x'yp'
⊢ x'-p'-z'

2
1. e : EuclideanPlane
2. a : Point
3. b : Point
4. c : Point
5. x : Point
6. y : Point
7. z : Point
8. ¬out(y xz)
9. p : Point
10. p' : Point
11. x' : Point
12. z' : Point
13. abc ≅a xyp
14. y_p'_p
15. out(y xx')
16. out(y zz')
17. ¬x_y_p
18. x'_p'_z'
19. p' ≠ z'
20. a # bc
21. x # yz
22. x' # yz'
23. p' # yz
24. out(y pp')
25. abc ≅a x'yp'
26. ∃x'@0:Point. (((x-x'@0-z ∧ out(y p'x'@0)) ∧ x'yp' ≅a xyx'@0) ∧ z'yp' ≅a zyx'@0)
⊢ ∃p:Point. (x-p-z ∧ xyp ≅a abc)

---

Latex:

---

Latex:

1.  e  :  EuclideanPlane
2.  a  :  Point
3.  b  :  Point
4.  c  :  Point
5.  x  :  Point
6.  y  :  Point
7.  z  :  Point
8.  \mneg{}out(y  xz)
9.  p  :  Point
10.  p'  :  Point
11.  x'  :  Point
12.  z'  :  Point
13.  abc  \mcong{}\msuba{}  xyp
14.  y\_p'\_p
15.  out(y  xx')
16.  out(y  zz')
17.  \mneg{}x\_y\_p
18.  x'\_p'\_z'
19.  p'  \mneq{}  z'
20.  a  \#  bc
21.  x  \#  yz
\mvdash{}  \mexists{}p:Point.  (x-p-z  \mwedge{}  xyp  \mcong{}\msuba{}  abc)


By

---

Latex:
((Assert  x'  \#  yz'  BY
                (InstLemma  `out-preserves-lsep`  [\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}y\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}z\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x'\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}z'\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THEN  EAuto  1))
  THEN  (((Assert  p'  \#  yz  BY
                              ((Assert  x'  \#  yz'  BY  EAuto  1)  THEN  EAuto  1))
                THEN  (Assert  out(y  pp')  BY
                                        (((Assert  y  \mneq{}  p  BY  Auto)  THEN  (Assert  y  \mneq{}  p'  BY  Auto))
                                          THEN  InstLemma  `geo-between-out`  [\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{}]\mcdot{}
                                          THEN  EAuto  1))
                )
              THEN  (Assert  abc  \mcong{}\msuba{}  x'yp'  BY
                                      (InstLemma  `out-preserves-angle-cong\_1`  [\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}y\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}p\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x'\mkleeneclose{}
                                        ;\mkleeneopen{}p'\mkleeneclose{}]\mcdot{}
                                        THEN  EAuto  1
                                        ))
              )
  THEN  InstLemma  `geo-out-interior-point-exists`  [\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x'\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}y\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}z'\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}z\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}p'\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THEN  EAuto  1)

---

Home Index