Step
*
2
1
of Lemma
hp-angle-sum-lt3
1. e : EuclideanPlane
2. a : Point
3. b : Point
4. c : Point
5. x : Point
6. y : Point
7. z : Point
8. i : Point
9. j : Point
10. k : Point
11. a' : Point
12. b' : Point
13. c' : Point
14. x' : Point
15. y' : Point
16. z' : Point
17. i' : Point
18. j' : Point
19. k' : Point
20. a' # b'c'
21. abc + xyz ≅ ijk
22. p : Point
23. p' : Point
24. d' : Point
25. f' : Point
26. a'b'c' ≅a i'j'p
27. k'j'p ≅a x'y'z'
28. j'_p'_p
29. out(j' i'd')
30. out(j' k'f')
31. d'-p'-f'
32. ijk ≅a i'j'k'
33. a # bc
34. x # yz
35. i # jk
36. abc < a'b'c'
37. ¬out(j' i'p)
38. p1 : Point
39. ∃p',x',z':Point. (abc ≅a i'j'p1 ∧ j'_p'_p1 ∧ (out(j' i'x') ∧ out(j' pz')) ∧ (¬i'_j'_p1) ∧ x'_p'_z' ∧ p' ≠ z')
⊢ x'y'z' < xyz
BY
{ (Unfold `hp-angle-sum` 21
THEN ExRepD
THEN (DrawAlong ⌜j'⌝⌜i'⌝⌜j⌝⌜d1⌝`u'⋅ THENA Auto)
THEN (Assert j ≠ p4 BY
((InstLemma `out-preserves-lsep` [⌜e⌝;⌜j⌝;⌜i⌝;⌜k⌝;⌜d1⌝;⌜f1⌝]⋅ THENA EAuto 1)
THEN (Assert j # d1p4 BY
Auto)
THEN Auto))
THEN (Assert j' ≠ p1 BY
Auto)
THEN (DrawAlong ⌜j'⌝⌜p1⌝⌜j⌝⌜p4⌝`v'⋅ THENA Auto)) }
1
1. e : EuclideanPlane
2. a : Point
3. b : Point
4. c : Point
5. x : Point
6. y : Point
7. z : Point
8. i : Point
9. j : Point
10. k : Point
11. a' : Point
12. b' : Point
13. c' : Point
14. x' : Point
15. y' : Point
16. z' : Point
17. i' : Point
18. j' : Point
19. k' : Point
20. a' # b'c'
21. p3 : Point
22. p4 : Point
23. d1 : Point
24. f1 : Point
25. abc ≅a ijp3
26. kjp3 ≅a xyz
27. j_p4_p3
28. out(j id1)
29. out(j kf1)
30. d1-p4-f1
31. p : Point
32. p' : Point
33. d' : Point
34. f' : Point
35. a'b'c' ≅a i'j'p
36. k'j'p ≅a x'y'z'
37. j'_p'_p
38. out(j' i'd')
39. out(j' k'f')
40. d'-p'-f'
41. ijk ≅a i'j'k'
42. a # bc
43. x # yz
44. i # jk
45. abc < a'b'c'
46. ¬out(j' i'p)
47. p1 : Point
48. p2 : Point
49. x1 : Point
50. z1 : Point
51. abc ≅a i'j'p1
52. j'_p2_p1
53. out(j' i'x1)
54. out(j' pz1)
55. ¬i'_j'_p1
56. x1_p2_z1
57. p2 ≠ z1
58. u : Point
59. j'u ≅ jd1
60. out(j' ui')
61. j ≠ p4
62. j' ≠ p1
63. v : Point
64. j'v ≅ jp4
65. out(j' vp1)
⊢ x'y'z' < xyz
Latex:
Latex:
1. e : EuclideanPlane
2. a : Point
3. b : Point
4. c : Point
5. x : Point
6. y : Point
7. z : Point
8. i : Point
9. j : Point
10. k : Point
11. a' : Point
12. b' : Point
13. c' : Point
14. x' : Point
15. y' : Point
16. z' : Point
17. i' : Point
18. j' : Point
19. k' : Point
20. a' \# b'c'
21. abc + xyz \mcong{} ijk
22. p : Point
23. p' : Point
24. d' : Point
25. f' : Point
26. a'b'c' \mcong{}\msuba{} i'j'p
27. k'j'p \mcong{}\msuba{} x'y'z'
28. j'\_p'\_p
29. out(j' i'd')
30. out(j' k'f')
31. d'-p'-f'
32. ijk \mcong{}\msuba{} i'j'k'
33. a \# bc
34. x \# yz
35. i \# jk
36. abc < a'b'c'
37. \mneg{}out(j' i'p)
38. p1 : Point
39. \mexists{}p',x',z':Point
(abc \mcong{}\msuba{} i'j'p1 \mwedge{} j'\_p'\_p1 \mwedge{} (out(j' i'x') \mwedge{} out(j' pz')) \mwedge{} (\mneg{}i'\_j'\_p1) \mwedge{} x'\_p'\_z' \mwedge{} p' \mneq{} z')
\mvdash{} x'y'z' < xyz
By
Latex:
(Unfold `hp-angle-sum` 21
THEN ExRepD
THEN (DrawAlong \mkleeneopen{}j'\mkleeneclose{}\mkleeneopen{}i'\mkleeneclose{}\mkleeneopen{}j\mkleeneclose{}\mkleeneopen{}d1\mkleeneclose{}`u'\mcdot{} THENA Auto)
THEN (Assert j \mneq{} p4 BY
((InstLemma `out-preserves-lsep` [\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}j\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}i\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}k\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}d1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f1\mkleeneclose{}]\mcdot{} THENA EAuto 1)
THEN (Assert j \# d1p4 BY
Auto)
THEN Auto))
THEN (Assert j' \mneq{} p1 BY
Auto)
THEN (DrawAlong \mkleeneopen{}j'\mkleeneclose{}\mkleeneopen{}p1\mkleeneclose{}\mkleeneopen{}j\mkleeneclose{}\mkleeneopen{}p4\mkleeneclose{}`v'\mcdot{} THENA Auto))
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