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of Lemma
hp-angle-sum-subst3
1. g : EuclideanPlane
2. a : Point
3. b : Point
4. c : Point
5. d : Point
6. e : Point
7. f : Point
8. x : Point
9. y : Point
10. z : Point
11. i : Point
12. j : Point
13. k : Point
14. p : Point
15. p' : Point
16. d' : Point
17. f' : Point
18. abc ≅a xyp
19. zyp ≅a def
20. y_p'_p
21. out(y xd')
22. out(y zf')
23. d'-p'-f'
24. xyz ≅a ijk
25. x # yz
26. d' ≠ y
27. y ≠ f'
28. i ≠ j
29. j ≠ k
30. a' : Point
31. c' : Point
32. x' : Point
33. z' : Point
34. y_d'_a'
35. y_f'_c'
36. j_i_x'
37. j_k_z'
38. ya' ≅ jx'
39. yc' ≅ jz'
40. a'c' ≅ x'z'
41. d' # yf'
42. x1 : Point
43. a'-x1-c'
44. out(y p'x1)
45. d'yp' ≅a a'yx1
46. f'yp' ≅a c'yx1
47. b' : Point
48. x'-b'-z'
49. a'x1 ≅ x'b'
50. x1c' ≅ b'z'
51. x1y ≅ b'j
52. a'yx1 ≅a x'jb' ∧ ya'x1 ≅a jx'b' ∧ yx1a' ≅a jb'x'
53. c'yx1 ≅a z'jb' ∧ yc'x1 ≅a jz'b' ∧ yx1c' ≅a jb'z'
⊢ ∃p,p',d',f':Point. (((abc ≅a ijp ∧ kjp ≅a def) ∧ j_p'_p) ∧ (out(j id') ∧ out(j kf')) ∧ d'-p'-f')
BY
{ (InstConcl [⌜b'⌝;⌜b'⌝;⌜x'⌝;⌜z'⌝]⋅ THEN Auto) }
1
1. g : EuclideanPlane
2. a : Point
3. b : Point
4. c : Point
5. d : Point
6. e : Point
7. f : Point
8. x : Point
9. y : Point
10. z : Point
11. i : Point
12. j : Point
13. k : Point
14. p : Point
15. p' : Point
16. d' : Point
17. f' : Point
18. abc ≅a xyp
19. zyp ≅a def
20. y_p'_p
21. out(y xd')
22. out(y zf')
23. d'-p'-f'
24. xyz ≅a ijk
25. x # yz
26. d' ≠ y
27. y ≠ f'
28. i ≠ j
29. j ≠ k
30. a' : Point
31. c' : Point
32. x' : Point
33. z' : Point
34. y_d'_a'
35. y_f'_c'
36. j_i_x'
37. j_k_z'
38. ya' ≅ jx'
39. yc' ≅ jz'
40. a'c' ≅ x'z'
41. d' # yf'
42. x1 : Point
43. a'-x1-c'
44. out(y p'x1)
45. d'yp' ≅a a'yx1
46. f'yp' ≅a c'yx1
47. b' : Point
48. x'-b'-z'
49. a'x1 ≅ x'b'
50. x1c' ≅ b'z'
51. x1y ≅ b'j
52. a'yx1 ≅a x'jb'
53. ya'x1 ≅a jx'b'
54. yx1a' ≅a jb'x'
55. c'yx1 ≅a z'jb'
56. yc'x1 ≅a jz'b'
57. yx1c' ≅a jb'z'
⊢ abc ≅a ijb'
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1. g : EuclideanPlane
2. a : Point
3. b : Point
4. c : Point
5. d : Point
6. e : Point
7. f : Point
8. x : Point
9. y : Point
10. z : Point
11. i : Point
12. j : Point
13. k : Point
14. p : Point
15. p' : Point
16. d' : Point
17. f' : Point
18. abc ≅a xyp
19. zyp ≅a def
20. y_p'_p
21. out(y xd')
22. out(y zf')
23. d'-p'-f'
24. xyz ≅a ijk
25. x # yz
26. d' ≠ y
27. y ≠ f'
28. i ≠ j
29. j ≠ k
30. a' : Point
31. c' : Point
32. x' : Point
33. z' : Point
34. y_d'_a'
35. y_f'_c'
36. j_i_x'
37. j_k_z'
38. ya' ≅ jx'
39. yc' ≅ jz'
40. a'c' ≅ x'z'
41. d' # yf'
42. x1 : Point
43. a'-x1-c'
44. out(y p'x1)
45. d'yp' ≅a a'yx1
46. f'yp' ≅a c'yx1
47. b' : Point
48. x'-b'-z'
49. a'x1 ≅ x'b'
50. x1c' ≅ b'z'
51. x1y ≅ b'j
52. a'yx1 ≅a x'jb'
53. ya'x1 ≅a jx'b'
54. yx1a' ≅a jb'x'
55. c'yx1 ≅a z'jb'
56. yc'x1 ≅a jz'b'
57. yx1c' ≅a jb'z'
58. abc ≅a ijb'
⊢ kjb' ≅a def
3
1. g : EuclideanPlane
2. a : Point
3. b : Point
4. c : Point
5. d : Point
6. e : Point
7. f : Point
8. x : Point
9. y : Point
10. z : Point
11. i : Point
12. j : Point
13. k : Point
14. p : Point
15. p' : Point
16. d' : Point
17. f' : Point
18. abc ≅a xyp
19. zyp ≅a def
20. y_p'_p
21. out(y xd')
22. out(y zf')
23. d'-p'-f'
24. xyz ≅a ijk
25. x # yz
26. d' ≠ y
27. y ≠ f'
28. i ≠ j
29. j ≠ k
30. a' : Point
31. c' : Point
32. x' : Point
33. z' : Point
34. y_d'_a'
35. y_f'_c'
36. j_i_x'
37. j_k_z'
38. ya' ≅ jx'
39. yc' ≅ jz'
40. a'c' ≅ x'z'
41. d' # yf'
42. x1 : Point
43. a'-x1-c'
44. out(y p'x1)
45. d'yp' ≅a a'yx1
46. f'yp' ≅a c'yx1
47. b' : Point
48. x'-b'-z'
49. a'x1 ≅ x'b'
50. x1c' ≅ b'z'
51. x1y ≅ b'j
52. a'yx1 ≅a x'jb'
53. ya'x1 ≅a jx'b'
54. yx1a' ≅a jb'x'
55. c'yx1 ≅a z'jb'
56. yc'x1 ≅a jz'b'
57. yx1c' ≅a jb'z'
58. abc ≅a ijb'
59. kjb' ≅a def
60. j_b'_b'
⊢ out(j ix')
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1. g : EuclideanPlane
2. a : Point
3. b : Point
4. c : Point
5. d : Point
6. e : Point
7. f : Point
8. x : Point
9. y : Point
10. z : Point
11. i : Point
12. j : Point
13. k : Point
14. p : Point
15. p' : Point
16. d' : Point
17. f' : Point
18. abc ≅a xyp
19. zyp ≅a def
20. y_p'_p
21. out(y xd')
22. out(y zf')
23. d'-p'-f'
24. xyz ≅a ijk
25. x # yz
26. d' ≠ y
27. y ≠ f'
28. i ≠ j
29. j ≠ k
30. a' : Point
31. c' : Point
32. x' : Point
33. z' : Point
34. y_d'_a'
35. y_f'_c'
36. j_i_x'
37. j_k_z'
38. ya' ≅ jx'
39. yc' ≅ jz'
40. a'c' ≅ x'z'
41. d' # yf'
42. x1 : Point
43. a'-x1-c'
44. out(y p'x1)
45. d'yp' ≅a a'yx1
46. f'yp' ≅a c'yx1
47. b' : Point
48. x'-b'-z'
49. a'x1 ≅ x'b'
50. x1c' ≅ b'z'
51. x1y ≅ b'j
52. a'yx1 ≅a x'jb'
53. ya'x1 ≅a jx'b'
54. yx1a' ≅a jb'x'
55. c'yx1 ≅a z'jb'
56. yc'x1 ≅a jz'b'
57. yx1c' ≅a jb'z'
58. abc ≅a ijb'
59. kjb' ≅a def
60. j_b'_b'
61. out(j ix')
⊢ out(j kz')
Latex:
Latex:
1. g : EuclideanPlane
2. a : Point
3. b : Point
4. c : Point
5. d : Point
6. e : Point
7. f : Point
8. x : Point
9. y : Point
10. z : Point
11. i : Point
12. j : Point
13. k : Point
14. p : Point
15. p' : Point
16. d' : Point
17. f' : Point
18. abc \mcong{}\msuba{} xyp
19. zyp \mcong{}\msuba{} def
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21. out(y xd')
22. out(y zf')
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24. xyz \mcong{}\msuba{} ijk
25. x \# yz
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31. c' : Point
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33. z' : Point
34. y\_d'\_a'
35. y\_f'\_c'
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44. out(y p'x1)
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46. f'yp' \mcong{}\msuba{} c'yx1
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By
Latex:
(InstConcl [\mkleeneopen{}b'\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b'\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x'\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}z'\mkleeneclose{}]\mcdot{} THEN Auto)
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