---

Step * 3 1 1 of Lemma hull-cmp_wf


1. g : OrientedPlane
2. xs : Point List
3. geo-general-position(g;xs)
4. i : ℕ||xs||
5. j : ℕ||xs||
6. ¬(i = j ∈ ℤ)
7. ij ∈ Hull(xs)
8. hull-cmp(g;xs;i;j) ∈ {k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} 
   ⟶ {k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} 
   ⟶ ℤ
9. ∀x,y:{k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} .  ((hull-cmp(g;xs;i;j) x y) = (-(hull-cmp(g;xs;i;j) y x)) ∈ ℤ)
10. ∀x,y:{k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} .
      (((hull-cmp(g;xs;i;j) x y) = 0 ∈ ℤ)
      ⇒ (∀z:{k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} . ((hull-cmp(g;xs;i;j) x z) = (hull-cmp(g;xs;i;j) y z) ∈ ℤ)))
11. x : ℕ||xs||
12. (¬(x = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(x = j ∈ ℤ))
13. y : ℕ||xs||
14. (¬(y = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(y = j ∈ ℤ))
15. z : ℕ||xs||
16. ((¬(z = y ∈ ℤ)) ∧ (↑z L iy)) ⇒ ((¬(y = x ∈ ℤ)) ∧ (↑y L ix)) ⇒ ((¬(z = x ∈ ℤ)) ∧ (↑z L ix))
17. (¬(z = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(z = j ∈ ℤ))
18. 0 ≤ (hull-cmp(g;xs;i;j) x y)
19. 0 ≤ (hull-cmp(g;xs;i;j) y z)
⊢ 0 ≤ (hull-cmp(g;xs;i;j) x z)
BY
{ (DupHyp (-2)
   THEN RepUR ``hull-cmp`` -1
   THEN ((SplitOnHypITE -1  THENA Auto) THENL [(HypSubst' (-1) 0 THEN Auto); (SplitOnHypITE -2  THEN Auto)])) }

1
1. g : OrientedPlane
2. xs : Point List
3. geo-general-position(g;xs)
4. i : ℕ||xs||
5. j : ℕ||xs||
6. ¬(i = j ∈ ℤ)
7. ij ∈ Hull(xs)
8. hull-cmp(g;xs;i;j) ∈ {k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} 
   ⟶ {k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} 
   ⟶ ℤ
9. ∀x,y:{k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} .  ((hull-cmp(g;xs;i;j) x y) = (-(hull-cmp(g;xs;i;j) y x)) ∈ ℤ)
10. ∀x,y:{k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} .
      (((hull-cmp(g;xs;i;j) x y) = 0 ∈ ℤ)
      ⇒ (∀z:{k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} . ((hull-cmp(g;xs;i;j) x z) = (hull-cmp(g;xs;i;j) y z) ∈ ℤ)))
11. x : ℕ||xs||
12. ¬(x = i ∈ ℤ)
13. ¬(x = j ∈ ℤ)
14. y : ℕ||xs||
15. ¬(y = i ∈ ℤ)
16. ¬(y = j ∈ ℤ)
17. z : ℕ||xs||
18. ((¬(z = y ∈ ℤ)) ∧ (↑z L iy)) ⇒ ((¬(y = x ∈ ℤ)) ∧ (↑y L ix)) ⇒ ((¬(z = x ∈ ℤ)) ∧ (↑z L ix))
19. ¬(z = i ∈ ℤ)
20. ¬(z = j ∈ ℤ)
21. 0 ≤ (hull-cmp(g;xs;i;j) x y)
22. 0 ≤ (hull-cmp(g;xs;i;j) y z)
23. 0 ≤ 1
24. ¬(x = y ∈ ℤ)
25. ↑y L ix
⊢ 0 ≤ (hull-cmp(g;xs;i;j) x z)

---

Latex:

---

Latex:

1.  g  :  OrientedPlane
2.  xs  :  Point  List
3.  geo-general-position(g;xs)
4.  i  :  \mBbbN{}||xs||
5.  j  :  \mBbbN{}||xs||
6.  \mneg{}(i  =  j)
7.  ij  \mmember{}  Hull(xs)
8.  hull-cmp(g;xs;i;j)  \mmember{}  \{k:\mBbbN{}||xs|||  (\mneg{}(k  =  i))  \mwedge{}  (\mneg{}(k  =  j))\} 
      {}\mrightarrow{}  \{k:\mBbbN{}||xs|||  (\mneg{}(k  =  i))  \mwedge{}  (\mneg{}(k  =  j))\} 
      {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}
9.  \mforall{}x,y:\{k:\mBbbN{}||xs|||  (\mneg{}(k  =  i))  \mwedge{}  (\mneg{}(k  =  j))\}  .
          ((hull-cmp(g;xs;i;j)  x  y)  =  (-(hull-cmp(g;xs;i;j)  y  x)))
10.  \mforall{}x,y:\{k:\mBbbN{}||xs|||  (\mneg{}(k  =  i))  \mwedge{}  (\mneg{}(k  =  j))\}  .
            (((hull-cmp(g;xs;i;j)  x  y)  =  0)
            {}\mRightarrow{}  (\mforall{}z:\{k:\mBbbN{}||xs|||  (\mneg{}(k  =  i))  \mwedge{}  (\mneg{}(k  =  j))\} 
                        ((hull-cmp(g;xs;i;j)  x  z)  =  (hull-cmp(g;xs;i;j)  y  z))))
11.  x  :  \mBbbN{}||xs||
12.  (\mneg{}(x  =  i))  \mwedge{}  (\mneg{}(x  =  j))
13.  y  :  \mBbbN{}||xs||
14.  (\mneg{}(y  =  i))  \mwedge{}  (\mneg{}(y  =  j))
15.  z  :  \mBbbN{}||xs||
16.  ((\mneg{}(z  =  y))  \mwedge{}  (\muparrow{}z  L  iy))  {}\mRightarrow{}  ((\mneg{}(y  =  x))  \mwedge{}  (\muparrow{}y  L  ix))  {}\mRightarrow{}  ((\mneg{}(z  =  x))  \mwedge{}  (\muparrow{}z  L  ix))
17.  (\mneg{}(z  =  i))  \mwedge{}  (\mneg{}(z  =  j))
18.  0  \mleq{}  (hull-cmp(g;xs;i;j)  x  y)
19.  0  \mleq{}  (hull-cmp(g;xs;i;j)  y  z)
\mvdash{}  0  \mleq{}  (hull-cmp(g;xs;i;j)  x  z)


By

---

Latex:
(DupHyp  (-2)
  THEN  RepUR  ``hull-cmp``  -1
  THEN  ((SplitOnHypITE  -1    THENA  Auto)
              THENL  [(HypSubst'  (-1)  0  THEN  Auto);  (SplitOnHypITE  -2    THEN  Auto)]
  ))

---

Home Index