---

Step * 1 of Lemma in-hull-sorted


1. g : OrientedPlane
2. xs : {xs:Point List| geo-general-position(g;xs)} 
3. i : ℕ||xs||
4. j : ℕ||xs||
5. ¬(i = j ∈ ℤ)
6. ij ∈ Hull(xs)
7. hull-cmp(g;xs;i;j) ∈ comparison({k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} )
8. L : {k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))}  List
9. filter(λk.((¬b(k =z i)) ∧b (¬b(k =z j)));upto(||xs||)) = L ∈ ({k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))}  List)
⊢ ∃ps:{k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))}  List
   (permutation({k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} ;ps;L) ∧ sorted-by(λx,y. ((¬(x = y ∈ ℤ)) ⇒ (↑x L yi));ps))
BY
{ ((InstLemma `comparison-sort-permutation` [⌜{k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} ⌝;⌜hull-cmp(g;xs;i;j)⌝;⌜L⌝]⋅
    THENA Auto
    )
   THEN MoveToConcl (-1)
   THEN (GenConclTerm ⌜comparison-sort(hull-cmp(g;xs;i;j);L)⌝⋅ THENA Auto)) }

1
1. g : OrientedPlane
2. xs : {xs:Point List| geo-general-position(g;xs)} 
3. i : ℕ||xs||
4. j : ℕ||xs||
5. ¬(i = j ∈ ℤ)
6. ij ∈ Hull(xs)
7. hull-cmp(g;xs;i;j) ∈ comparison({k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} )
8. L : {k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))}  List
9. filter(λk.((¬b(k =z i)) ∧b (¬b(k =z j)));upto(||xs||)) = L ∈ ({k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))}  List)
10. v : {srtd:{k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))}  List| sorted-by(λx,y. (0 ≤ (hull-cmp(g;xs;i;j) x y));srtd)} 
11. comparison-sort(hull-cmp(g;xs;i;j);L)
= v
∈ {srtd:{k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))}  List| sorted-by(λx,y. (0 ≤ (hull-cmp(g;xs;i;j) x y));srtd)} 
⊢ permutation({k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} ;v;L)
⇒ (∃ps:{k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))}  List
     (permutation({k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} ;ps;L) ∧ sorted-by(λx,y. ((¬(x = y ∈ ℤ)) ⇒ (↑x L yi));ps\000C)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  g  :  OrientedPlane
2.  xs  :  \{xs:Point  List|  geo-general-position(g;xs)\} 
3.  i  :  \mBbbN{}||xs||
4.  j  :  \mBbbN{}||xs||
5.  \mneg{}(i  =  j)
6.  ij  \mmember{}  Hull(xs)
7.  hull-cmp(g;xs;i;j)  \mmember{}  comparison(\{k:\mBbbN{}||xs|||  (\mneg{}(k  =  i))  \mwedge{}  (\mneg{}(k  =  j))\}  )
8.  L  :  \{k:\mBbbN{}||xs|||  (\mneg{}(k  =  i))  \mwedge{}  (\mneg{}(k  =  j))\}    List
9.  filter(\mlambda{}k.((\mneg{}\msubb{}(k  =\msubz{}  i))  \mwedge{}\msubb{}  (\mneg{}\msubb{}(k  =\msubz{}  j)));upto(||xs||))  =  L
\mvdash{}  \mexists{}ps:\{k:\mBbbN{}||xs|||  (\mneg{}(k  =  i))  \mwedge{}  (\mneg{}(k  =  j))\}    List
      (permutation(\{k:\mBbbN{}||xs|||  (\mneg{}(k  =  i))  \mwedge{}  (\mneg{}(k  =  j))\}  ;ps;L)
      \mwedge{}  sorted-by(\mlambda{}x,y.  ((\mneg{}(x  =  y))  {}\mRightarrow{}  (\muparrow{}x  L  yi));ps))


By

---

Latex:
((InstLemma  `comparison-sort-permutation`  [\mkleeneopen{}\{k:\mBbbN{}||xs|||  (\mneg{}(k  =  i))  \mwedge{}  (\mneg{}(k  =  j))\}  \mkleeneclose{};
    \mkleeneopen{}hull-cmp(g;xs;i;j)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}L\mkleeneclose{}]\mcdot{}
    THENA  Auto
    )
  THEN  MoveToConcl  (-1)
  THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}comparison-sort(hull-cmp(g;xs;i;j);L)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto))

---

Home Index