---

Step * 1 1 1 of Lemma perp-aux-general-construction


1. e : HeytingGeometry
2. a : Point
3. b : Point
4. c : Point
5. x : Point
6. c # ba
7. Colinear(a;b;x)
8. Colinear(c;x;x)
9. ∀u,v:Point.  (Colinear(a;b;u) ⇒ Colinear(c;x;v) ⇒ Ruxv)
10. a ≠ x
11. Raxc
12. Rbxc
13. Point
14. c ≠ x
15. c' : Point
16. c-x-c' ∧ xc' ≅ cx
17. ∀c':Point. (c'=x=c ⇒ ac ≅ ac')
18. c'=x=c
19. ac ≅ ac'
⊢ ∃c1,c',p:Point. (((c=a=c1 ∧ c=x=c') ∧ c'a ≅ ca) ∧ c' # c1a ∧ ((a # cc' ∧ c1=p=c') ∧ ab  ⊥a pa) ∧ p # ab)
BY
{ (((gProperProlong ⌜c⌝⌜a⌝`c1'⌜c⌝⌜a⌝⋅ THENA Auto) THEN ExRepD)
   THEN (Assert c' # c1a BY
               ((Assert a # cx BY
                       ((Assert b # ac BY
                               Auto)
                        THEN InstLemma `geo-triangle-colinear` [⌜e⌝;⌜b⌝;⌜a⌝;⌜c⌝;⌜x⌝]⋅
                        THEN Auto))
                THEN InstLemma `geo-triangle-colinear` [⌜e⌝;⌜a⌝;⌜c⌝;⌜x⌝;⌜c1⌝]⋅
                THEN Auto))
   ) }

1
1. e : HeytingGeometry
2. a : Point
3. b : Point
4. c : Point
5. x : Point
6. c # ba
7. Colinear(a;b;x)
8. Colinear(c;x;x)
9. ∀u,v:Point.  (Colinear(a;b;u) ⇒ Colinear(c;x;v) ⇒ Ruxv)
10. a ≠ x
11. Raxc
12. Rbxc
13. Point
14. c ≠ x
15. c' : Point
16. c-x-c'
17. xc' ≅ cx
18. ∀c':Point. (c'=x=c ⇒ ac ≅ ac')
19. c'=x=c
20. ac ≅ ac'
21. c1 : Point
22. c-a-c1
23. ac1 ≅ ca
24. c' # c1a
⊢ ∃c1,c',p:Point. (((c=a=c1 ∧ c=x=c') ∧ c'a ≅ ca) ∧ c' # c1a ∧ ((a # cc' ∧ c1=p=c') ∧ ab  ⊥a pa) ∧ p # ab)

---

Latex:

---

Latex:

1.  e  :  HeytingGeometry
2.  a  :  Point
3.  b  :  Point
4.  c  :  Point
5.  x  :  Point
6.  c  \#  ba
7.  Colinear(a;b;x)
8.  Colinear(c;x;x)
9.  \mforall{}u,v:Point.    (Colinear(a;b;u)  {}\mRightarrow{}  Colinear(c;x;v)  {}\mRightarrow{}  Ruxv)
10.  a  \mneq{}  x
11.  Raxc
12.  Rbxc
13.  Point
14.  c  \mneq{}  x
15.  c'  :  Point
16.  c-x-c'  \mwedge{}  xc'  \00D0  cx
17.  \mforall{}c':Point.  (c'=x=c  {}\mRightarrow{}  ac  \00D0  ac')
18.  c'=x=c
19.  ac  \00D0  ac'
\mvdash{}  \mexists{}c1,c',p:Point
      (((c=a=c1  \mwedge{}  c=x=c')  \mwedge{}  c'a  \00D0  ca)  \mwedge{}  c'  \#  c1a  \mwedge{}  ((a  \#  cc'  \mwedge{}  c1=p=c')  \mwedge{}  ab    \mbot{}a  pa)  \mwedge{}  p  \#  ab)


By

---

Latex:
(((gProperProlong  \mkleeneopen{}c\mkleeneclose{}\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{}`c1'\mkleeneopen{}c\mkleeneclose{}\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)  THEN  ExRepD)
  THEN  (Assert  c'  \#  c1a  BY
                          ((Assert  a  \#  cx  BY
                                          ((Assert  b  \#  ac  BY
                                                          Auto)
                                            THEN  InstLemma  `geo-triangle-colinear`  [\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{}]\mcdot{}
                                            THEN  Auto))
                            THEN  InstLemma  `geo-triangle-colinear`  [\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c1\mkleeneclose{}]\mcdot{}
                            THEN  Auto))
  )

---

Home Index