---

Step * 1 2 of Lemma implies-isometry-lemma3


1. rv : InnerProductSpace
2. f : Point(rv) ⟶ Point(rv)
3. r : {r:ℝ| r0 < r} 
4. ∀x,y:Point(rv).  (x ≡ y ⇒ f x ≡ f y)
5. ∀x,y:Point(rv).  (((||x - y|| = r) ∨ (||x - y|| = (r(2) * r))) ⇒ (||f x - f y|| = ||x - y||))
6. ∀x,y:Point(rv).  ((||x - y|| = r) ⇒ (∀j:ℕ. f x + r(j)*y - x ≡ f x + r(j)*f y - f x))
7. n : ℕ+
8. m : ℕ+
9. x : Point(rv)
10. y : Point(rv)
11. ||x - y|| = (r(n) * r/r(m))
12. ¬((||x - y|| = r) ∨ (||x - y|| = (r(2) * r)))
13. ∃z:Point(rv). ((||z - x|| = (r(n) * r)) ∧ (||z - y|| = (r(n) * r)))
⊢ ||f x - f y|| = ||x - y||
BY
{ (ExRepD
   THEN Assert ⌜∃a,b,x',y':Point(rv)
                 ((x ≡ z + r(n)*a - z ∧ y ≡ z + r(n)*b - z) ∧ x' ≡ z + r(m)*a - z ∧ y' ≡ z + r(m)*b - z)⌝⋅
   ) }

1
.....assertion..... 
1. rv : InnerProductSpace
2. f : Point(rv) ⟶ Point(rv)
3. r : {r:ℝ| r0 < r} 
4. ∀x,y:Point(rv).  (x ≡ y ⇒ f x ≡ f y)
5. ∀x,y:Point(rv).  (((||x - y|| = r) ∨ (||x - y|| = (r(2) * r))) ⇒ (||f x - f y|| = ||x - y||))
6. ∀x,y:Point(rv).  ((||x - y|| = r) ⇒ (∀j:ℕ. f x + r(j)*y - x ≡ f x + r(j)*f y - f x))
7. n : ℕ+
8. m : ℕ+
9. x : Point(rv)
10. y : Point(rv)
11. ||x - y|| = (r(n) * r/r(m))
12. ¬((||x - y|| = r) ∨ (||x - y|| = (r(2) * r)))
13. z : Point(rv)
14. ||z - x|| = (r(n) * r)
15. ||z - y|| = (r(n) * r)
⊢ ∃a,b,x',y':Point(rv). ((x ≡ z + r(n)*a - z ∧ y ≡ z + r(n)*b - z) ∧ x' ≡ z + r(m)*a - z ∧ y' ≡ z + r(m)*b - z)

2
1. rv : InnerProductSpace
2. f : Point(rv) ⟶ Point(rv)
3. r : {r:ℝ| r0 < r} 
4. ∀x,y:Point(rv).  (x ≡ y ⇒ f x ≡ f y)
5. ∀x,y:Point(rv).  (((||x - y|| = r) ∨ (||x - y|| = (r(2) * r))) ⇒ (||f x - f y|| = ||x - y||))
6. ∀x,y:Point(rv).  ((||x - y|| = r) ⇒ (∀j:ℕ. f x + r(j)*y - x ≡ f x + r(j)*f y - f x))
7. n : ℕ+
8. m : ℕ+
9. x : Point(rv)
10. y : Point(rv)
11. ||x - y|| = (r(n) * r/r(m))
12. ¬((||x - y|| = r) ∨ (||x - y|| = (r(2) * r)))
13. z : Point(rv)
14. ||z - x|| = (r(n) * r)
15. ||z - y|| = (r(n) * r)
16. ∃a,b,x',y':Point(rv). ((x ≡ z + r(n)*a - z ∧ y ≡ z + r(n)*b - z) ∧ x' ≡ z + r(m)*a - z ∧ y' ≡ z + r(m)*b - z)
⊢ ||f x - f y|| = ||x - y||

---

Latex:

---

Latex:

1.  rv  :  InnerProductSpace
2.  f  :  Point(rv)  {}\mrightarrow{}  Point(rv)
3.  r  :  \{r:\mBbbR{}|  r0  <  r\} 
4.  \mforall{}x,y:Point(rv).    (x  \mequiv{}  y  {}\mRightarrow{}  f  x  \mequiv{}  f  y)
5.  \mforall{}x,y:Point(rv).    (((||x  -  y||  =  r)  \mvee{}  (||x  -  y||  =  (r(2)  *  r)))  {}\mRightarrow{}  (||f  x  -  f  y||  =  ||x  -  y||))
6.  \mforall{}x,y:Point(rv).    ((||x  -  y||  =  r)  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}j:\mBbbN{}.  f  x  +  r(j)*y  -  x  \mequiv{}  f  x  +  r(j)*f  y  -  f  x))
7.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
8.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
9.  x  :  Point(rv)
10.  y  :  Point(rv)
11.  ||x  -  y||  =  (r(n)  *  r/r(m))
12.  \mneg{}((||x  -  y||  =  r)  \mvee{}  (||x  -  y||  =  (r(2)  *  r)))
13.  \mexists{}z:Point(rv).  ((||z  -  x||  =  (r(n)  *  r))  \mwedge{}  (||z  -  y||  =  (r(n)  *  r)))
\mvdash{}  ||f  x  -  f  y||  =  ||x  -  y||


By

---

Latex:
(ExRepD
  THEN  Assert  \mkleeneopen{}\mexists{}a,b,x',y':Point(rv)
                              ((x  \mequiv{}  z  +  r(n)*a  -  z  \mwedge{}  y  \mequiv{}  z  +  r(n)*b  -  z)
                              \mwedge{}  x'  \mequiv{}  z  +  r(m)*a  -  z
                              \mwedge{}  y'  \mequiv{}  z  +  r(m)*b  -  z)\mkleeneclose{}\mcdot{}
  )

---

Home Index