---

Step * 1 2 of Lemma implies-isometry-lemma5


1. rv : InnerProductSpace
2. f : Point(rv) ⟶ Point(rv)
3. d : {r:ℝ| r0 < r} 
4. ∀x,y:Point(rv).  (x ≡ y ⇒ f x ≡ f y)
5. ∀x,y:Point(rv).  (((||x - y|| = d) ∨ (||x - y|| = (r(2) * d))) ⇒ (||f x - f y|| = ||x - y||))
6. ∀n,m:ℕ+. ∀x,y:Point(rv).  ((||x - y|| = (r(n) * d/r(m))) ⇒ (||f x - f y|| = ||x - y||))
7. s : ℝ
8. r : ℝ
9. ∃n,m:ℕ+. (s = (r(n)/r(m)))
10. ∃n,m:ℕ+. (r = (r(n)/r(m)))
11. x : Point(rv)
12. y : Point(rv)
13. ||x - y|| ∈ (r * d, s * d)
14. ∃n,m:ℕ+. ((s - r) = (r(n)/r(m)))
⊢ ||f x - f y|| ∈ [r * d, s * d]
BY
{ (Assert ∀x,y:Point(rv).  ((||x - y|| < ((s - r) * d)) ⇒ (||f x - f y|| ≤ ((s - r) * d))) BY
         ((RepeatFor 2 (Thin 9) THEN Auto)
          THEN ExRepD
          THEN (InstLemma `implies-isometry-lemma4` [⌜rv⌝;⌜f⌝;⌜d⌝;⌜n⌝;⌜m⌝]⋅ THENA Auto)
          THEN (Assert (r(n) * d/r(m)) = ((s - r) * d) BY
                      ((RWO "-5" 0 THENA Auto) THEN nRMul ⌜r(m)⌝ 0⋅ THEN Auto))
          THEN (RWO "-1" (-2) THENA Auto)
          THEN BHyp -2
          THEN Auto)) }

1
1. rv : InnerProductSpace
2. f : Point(rv) ⟶ Point(rv)
3. d : {r:ℝ| r0 < r} 
4. ∀x,y:Point(rv).  (x ≡ y ⇒ f x ≡ f y)
5. ∀x,y:Point(rv).  (((||x - y|| = d) ∨ (||x - y|| = (r(2) * d))) ⇒ (||f x - f y|| = ||x - y||))
6. ∀n,m:ℕ+. ∀x,y:Point(rv).  ((||x - y|| = (r(n) * d/r(m))) ⇒ (||f x - f y|| = ||x - y||))
7. s : ℝ
8. r : ℝ
9. ∃n,m:ℕ+. (s = (r(n)/r(m)))
10. ∃n,m:ℕ+. (r = (r(n)/r(m)))
11. x : Point(rv)
12. y : Point(rv)
13. ||x - y|| ∈ (r * d, s * d)
14. ∃n,m:ℕ+. ((s - r) = (r(n)/r(m)))
15. ∀x,y:Point(rv).  ((||x - y|| < ((s - r) * d)) ⇒ (||f x - f y|| ≤ ((s - r) * d)))
⊢ ||f x - f y|| ∈ [r * d, s * d]

---

Latex:

---

Latex:

1.  rv  :  InnerProductSpace
2.  f  :  Point(rv)  {}\mrightarrow{}  Point(rv)
3.  d  :  \{r:\mBbbR{}|  r0  <  r\} 
4.  \mforall{}x,y:Point(rv).    (x  \mequiv{}  y  {}\mRightarrow{}  f  x  \mequiv{}  f  y)
5.  \mforall{}x,y:Point(rv).    (((||x  -  y||  =  d)  \mvee{}  (||x  -  y||  =  (r(2)  *  d)))  {}\mRightarrow{}  (||f  x  -  f  y||  =  ||x  -  y||))
6.  \mforall{}n,m:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mforall{}x,y:Point(rv).    ((||x  -  y||  =  (r(n)  *  d/r(m)))  {}\mRightarrow{}  (||f  x  -  f  y||  =  ||x  -  y||))
7.  s  :  \mBbbR{}
8.  r  :  \mBbbR{}
9.  \mexists{}n,m:\mBbbN{}\msupplus{}.  (s  =  (r(n)/r(m)))
10.  \mexists{}n,m:\mBbbN{}\msupplus{}.  (r  =  (r(n)/r(m)))
11.  x  :  Point(rv)
12.  y  :  Point(rv)
13.  ||x  -  y||  \mmember{}  (r  *  d,  s  *  d)
14.  \mexists{}n,m:\mBbbN{}\msupplus{}.  ((s  -  r)  =  (r(n)/r(m)))
\mvdash{}  ||f  x  -  f  y||  \mmember{}  [r  *  d,  s  *  d]


By

---

Latex:
(Assert  \mforall{}x,y:Point(rv).    ((||x  -  y||  <  ((s  -  r)  *  d))  {}\mRightarrow{}  (||f  x  -  f  y||  \mleq{}  ((s  -  r)  *  d)))  BY
              ((RepeatFor  2  (Thin  9)  THEN  Auto)
                THEN  ExRepD
                THEN  (InstLemma  `implies-isometry-lemma4`  [\mkleeneopen{}rv\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}d\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}n\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}m\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
                THEN  (Assert  (r(n)  *  d/r(m))  =  ((s  -  r)  *  d)  BY
                                        ((RWO  "-5"  0  THENA  Auto)  THEN  nRMul  \mkleeneopen{}r(m)\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THEN  Auto))
                THEN  (RWO  "-1"  (-2)  THENA  Auto)
                THEN  BHyp  -2
                THEN  Auto))

---

Home Index