---

Step * of Lemma ip-triangle-lemma

∀rv:InnerProductSpace. ∀x,y:Point.
  ((||x|| = ||y||) ⇒ (r0 < ||x - y||) ⇒ (r0 < ||r(-1)*x - y||) ⇒ (|x ⋅ y| < (||x|| * ||y||)))
BY
{ ((Auto THEN BLemma `square-rless-implies` THEN Auto)
   THEN (RWW "rnexp-rmul rabs-rnexp<" 0 THENA Auto)
   THEN (RWO "rabs-of-nonneg rv-norm-squared" 0 THENA Auto)
   THEN (RWO "rnexp2" 0 THENA Auto)
   THEN (Assert r0 < ||x - y||^2 BY
               (BLemma `rnexp-positive` THEN Auto))
   THEN RWW "rv-norm-squared rv-ip-sub-squared" (-1)
   THEN Auto
   THEN (Assert r0 < ||r(-1)*x - y||^2 BY
               (BLemma `rnexp-positive` THEN Auto))
   THEN RWW "rv-norm-squared rv-ip-sub-squared" (-1)
   THEN Auto) }

1
1. rv : InnerProductSpace
2. x : Point
3. y : Point
4. ||x|| = ||y||
5. r0 < ||x - y||
6. r0 < ||r(-1)*x - y||
7. r0 < ((x^2 - r(2) * x ⋅ y) + y^2)
8. r0 < ((r(-1)*x^2 - r(2) * r(-1)*x ⋅ y) + y^2)
⊢ (x ⋅ y * x ⋅ y) < (x^2 * y^2)

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}rv:InnerProductSpace.  \mforall{}x,y:Point.
    ((||x||  =  ||y||)  {}\mRightarrow{}  (r0  <  ||x  -  y||)  {}\mRightarrow{}  (r0  <  ||r(-1)*x  -  y||)  {}\mRightarrow{}  (|x  \mcdot{}  y|  <  (||x||  *  ||y||)))


By

---

Latex:
((Auto  THEN  BLemma  `square-rless-implies`  THEN  Auto)
  THEN  (RWW  "rnexp-rmul  rabs-rnexp<"  0  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "rabs-of-nonneg  rv-norm-squared"  0  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "rnexp2"  0  THENA  Auto)
  THEN  (Assert  r0  <  ||x  -  y||\^{}2  BY
                          (BLemma  `rnexp-positive`  THEN  Auto))
  THEN  RWW  "rv-norm-squared  rv-ip-sub-squared"  (-1)
  THEN  Auto
  THEN  (Assert  r0  <  ||r(-1)*x  -  y||\^{}2  BY
                          (BLemma  `rnexp-positive`  THEN  Auto))
  THEN  RWW  "rv-norm-squared  rv-ip-sub-squared"  (-1)
  THEN  Auto)

---

Home Index