---

Step * 1 of Lemma kernel-fun-properties


1. rv : InnerProductSpace
2. e : Point
3. f : {h:Point| h ⋅ e = r0}  ⟶ ℝ ⟶ ℝ
4. e^2 = r1
5. ∀h1,h2:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (f h1 t1 ≠ f h2 t2 ⇒ (h1 # h2 ∨ t1 ≠ t2))
6. ∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ((f h r0) = r0)
7. ∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  ((t1 < t2) ⇒ ((f h t1) < (f h t2)))
8. ∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀r:ℝ.  ∃t:ℝ. ((f h t) = r)
9. h1 : {h:Point| h ⋅ e = r0} 
10. h2 : {h:Point| h ⋅ e = r0} 
11. t1 : ℝ
12. t2 : ℝ
13. h1 ≡ h2
14. t1 = t2
⊢ (f h1 t1) = (f h2 t2)
BY
{ (((BLemma `not-rneq` THENM D 0) THENA Auto)
   THEN OnMaybeHyp 5 (\h. ((FHyp h [-1] THENA Auto)
                           THEN D -1
                           THEN Auto
                           THEN (RWO "-3" (-1) THEN Auto)
                           THEN FLemma `rneq_irreflexivity` [-1]
                           THEN Auto))
   ) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  rv  :  InnerProductSpace
2.  e  :  Point
3.  f  :  \{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
4.  e\^{}2  =  r1
5.  \mforall{}h1,h2:\{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  \mforall{}t1,t2:\mBbbR{}.    (f  h1  t1  \mneq{}  f  h2  t2  {}\mRightarrow{}  (h1  \#  h2  \mvee{}  t1  \mneq{}  t2))
6.  \mforall{}h:\{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  ((f  h  r0)  =  r0)
7.  \mforall{}h:\{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  \mforall{}t1,t2:\mBbbR{}.    ((t1  <  t2)  {}\mRightarrow{}  ((f  h  t1)  <  (f  h  t2)))
8.  \mforall{}h:\{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  \mforall{}r:\mBbbR{}.    \mexists{}t:\mBbbR{}.  ((f  h  t)  =  r)
9.  h1  :  \{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\} 
10.  h2  :  \{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\} 
11.  t1  :  \mBbbR{}
12.  t2  :  \mBbbR{}
13.  h1  \mequiv{}  h2
14.  t1  =  t2
\mvdash{}  (f  h1  t1)  =  (f  h2  t2)


By

---

Latex:
(((BLemma  `not-rneq`  THENM  D  0)  THENA  Auto)
  THEN  OnMaybeHyp  5  (\mbackslash{}h.  ((FHyp  h  [-1]  THENA  Auto)
                                                  THEN  D  -1
                                                  THEN  Auto
                                                  THEN  (RWO  "-3"  (-1)  THEN  Auto)
                                                  THEN  FLemma  `rneq\_irreflexivity`  [-1]
                                                  THEN  Auto))
  )

---

Home Index