---

Step * of Lemma kernel-fun-properties

∀rv:InnerProductSpace. ∀e:Point. ∀f:{h:Point| h ⋅ e = r0}  ⟶ ℝ ⟶ ℝ.
  ((e^2 = r1)
  ⇒ trans-kernel-fun(rv;e;f)
  ⇒ ((∀h1,h2:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (h1 ≡ h2 ⇒ (t1 = t2) ⇒ ((f h1 t1) = (f h2 t2))))
     ∧ (∀g:h:{h:Point| h ⋅ e = r0}  ⟶ r:ℝ ⟶ ℝ
          ((∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀r:ℝ.  ((f h (g h r)) = r))
          ⇒ ((∀h1,h2:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (g h1 t1 ≠ g h2 t2 ⇒ (h1 # h2 ∨ t1 ≠ t2)))
             ∧ (∀h1,h2:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (h1 ≡ h2 ⇒ (t1 = t2) ⇒ ((g h1 t1) = (g h2 t2)))))))
     ∧ (∃g:h:{h:Point| h ⋅ e = r0}  ⟶ r:ℝ ⟶ ℝ. ∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀r:ℝ.  ((f h (g h r)) = r))))
BY
{ (RepeatFor 5 ((D 0 THENA Auto)) THEN RepeatFor 3 (D -1) THEN Auto) }

1
1. rv : InnerProductSpace
2. e : Point
3. f : {h:Point| h ⋅ e = r0}  ⟶ ℝ ⟶ ℝ
4. e^2 = r1
5. ∀h1,h2:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (f h1 t1 ≠ f h2 t2 ⇒ (h1 # h2 ∨ t1 ≠ t2))
6. ∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ((f h r0) = r0)
7. ∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  ((t1 < t2) ⇒ ((f h t1) < (f h t2)))
8. ∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀r:ℝ.  ∃t:ℝ. ((f h t) = r)
9. h1 : {h:Point| h ⋅ e = r0} 
10. h2 : {h:Point| h ⋅ e = r0} 
11. t1 : ℝ
12. t2 : ℝ
13. h1 ≡ h2
14. t1 = t2
⊢ (f h1 t1) = (f h2 t2)

2
1. rv : InnerProductSpace
2. e : Point
3. f : {h:Point| h ⋅ e = r0}  ⟶ ℝ ⟶ ℝ
4. e^2 = r1
5. ∀h1,h2:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (f h1 t1 ≠ f h2 t2 ⇒ (h1 # h2 ∨ t1 ≠ t2))
6. ∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ((f h r0) = r0)
7. ∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  ((t1 < t2) ⇒ ((f h t1) < (f h t2)))
8. ∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀r:ℝ.  ∃t:ℝ. ((f h t) = r)
9. ∀h1,h2:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (h1 ≡ h2 ⇒ (t1 = t2) ⇒ ((f h1 t1) = (f h2 t2)))
10. g : h:{h:Point| h ⋅ e = r0}  ⟶ r:ℝ ⟶ ℝ
11. ∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀r:ℝ.  ((f h (g h r)) = r)
12. h1 : {h:Point| h ⋅ e = r0} 
13. h2 : {h:Point| h ⋅ e = r0} 
14. t1 : ℝ
15. t2 : ℝ
16. g h1 t1 ≠ g h2 t2
⊢ h1 # h2 ∨ t1 ≠ t2

3
1. rv : InnerProductSpace
2. e : Point
3. f : {h:Point| h ⋅ e = r0}  ⟶ ℝ ⟶ ℝ
4. e^2 = r1
5. ∀h1,h2:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (f h1 t1 ≠ f h2 t2 ⇒ (h1 # h2 ∨ t1 ≠ t2))
6. ∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ((f h r0) = r0)
7. ∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  ((t1 < t2) ⇒ ((f h t1) < (f h t2)))
8. ∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀r:ℝ.  ∃t:ℝ. ((f h t) = r)
9. ∀h1,h2:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (h1 ≡ h2 ⇒ (t1 = t2) ⇒ ((f h1 t1) = (f h2 t2)))
10. g : h:{h:Point| h ⋅ e = r0}  ⟶ r:ℝ ⟶ ℝ
11. ∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀r:ℝ.  ((f h (g h r)) = r)
12. ∀h1,h2:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (g h1 t1 ≠ g h2 t2 ⇒ (h1 # h2 ∨ t1 ≠ t2))
13. h1 : {h:Point| h ⋅ e = r0} 
14. h2 : {h:Point| h ⋅ e = r0} 
15. t1 : ℝ
16. t2 : ℝ
17. h1 ≡ h2
18. t1 = t2
⊢ (g h1 t1) = (g h2 t2)

4
1. rv : InnerProductSpace
2. e : Point
3. f : {h:Point| h ⋅ e = r0}  ⟶ ℝ ⟶ ℝ
4. e^2 = r1
5. ∀h1,h2:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (f h1 t1 ≠ f h2 t2 ⇒ (h1 # h2 ∨ t1 ≠ t2))
6. ∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ((f h r0) = r0)
7. ∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  ((t1 < t2) ⇒ ((f h t1) < (f h t2)))
8. ∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀r:ℝ.  ∃t:ℝ. ((f h t) = r)
9. ∀h1,h2:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (h1 ≡ h2 ⇒ (t1 = t2) ⇒ ((f h1 t1) = (f h2 t2)))
10. ∀g:h:{h:Point| h ⋅ e = r0}  ⟶ r:ℝ ⟶ ℝ
      ((∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀r:ℝ.  ((f h (g h r)) = r))
      ⇒ ((∀h1,h2:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (g h1 t1 ≠ g h2 t2 ⇒ (h1 # h2 ∨ t1 ≠ t2)))
         ∧ (∀h1,h2:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (h1 ≡ h2 ⇒ (t1 = t2) ⇒ ((g h1 t1) = (g h2 t2))))))
⊢ ∃g:h:{h:Point| h ⋅ e = r0}  ⟶ r:ℝ ⟶ ℝ. ∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀r:ℝ.  ((f h (g h r)) = r)

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}rv:InnerProductSpace.  \mforall{}e:Point.  \mforall{}f:\{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}.
    ((e\^{}2  =  r1)
    {}\mRightarrow{}  trans-kernel-fun(rv;e;f)
    {}\mRightarrow{}  ((\mforall{}h1,h2:\{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  \mforall{}t1,t2:\mBbbR{}.    (h1  \mequiv{}  h2  {}\mRightarrow{}  (t1  =  t2)  {}\mRightarrow{}  ((f  h1  t1)  =  (f  h2  t2))))
          \mwedge{}  (\mforall{}g:h:\{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}    {}\mrightarrow{}  r:\mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
                    ((\mforall{}h:\{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  \mforall{}r:\mBbbR{}.    ((f  h  (g  h  r))  =  r))
                    {}\mRightarrow{}  ((\mforall{}h1,h2:\{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  \mforall{}t1,t2:\mBbbR{}.    (g  h1  t1  \mneq{}  g  h2  t2  {}\mRightarrow{}  (h1  \#  h2  \mvee{}  t1  \mneq{}  t2)))
                          \mwedge{}  (\mforall{}h1,h2:\{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  \mforall{}t1,t2:\mBbbR{}.
                                    (h1  \mequiv{}  h2  {}\mRightarrow{}  (t1  =  t2)  {}\mRightarrow{}  ((g  h1  t1)  =  (g  h2  t2)))))))
          \mwedge{}  (\mexists{}g:h:\{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}    {}\mrightarrow{}  r:\mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
                  \mforall{}h:\{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  \mforall{}r:\mBbbR{}.    ((f  h  (g  h  r))  =  r))))


By

---

Latex:
(RepeatFor  5  ((D  0  THENA  Auto))  THEN  RepeatFor  3  (D  -1)  THEN  Auto)

---

Home Index