---

Step * 4 of Lemma kernel-fun-properties


1. rv : InnerProductSpace
2. e : Point
3. f : {h:Point| h ⋅ e = r0}  ⟶ ℝ ⟶ ℝ
4. e^2 = r1
5. ∀h1,h2:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (f h1 t1 ≠ f h2 t2 ⇒ (h1 # h2 ∨ t1 ≠ t2))
6. ∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ((f h r0) = r0)
7. ∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  ((t1 < t2) ⇒ ((f h t1) < (f h t2)))
8. ∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀r:ℝ.  ∃t:ℝ. ((f h t) = r)
9. ∀h1,h2:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (h1 ≡ h2 ⇒ (t1 = t2) ⇒ ((f h1 t1) = (f h2 t2)))
10. ∀g:h:{h:Point| h ⋅ e = r0}  ⟶ r:ℝ ⟶ ℝ
      ((∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀r:ℝ.  ((f h (g h r)) = r))
      ⇒ ((∀h1,h2:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (g h1 t1 ≠ g h2 t2 ⇒ (h1 # h2 ∨ t1 ≠ t2)))
         ∧ (∀h1,h2:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (h1 ≡ h2 ⇒ (t1 = t2) ⇒ ((g h1 t1) = (g h2 t2))))))
⊢ ∃g:h:{h:Point| h ⋅ e = r0}  ⟶ r:ℝ ⟶ ℝ. ∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀r:ℝ.  ((f h (g h r)) = r)
BY
{ (Skolemize (-3) `g'  THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  rv  :  InnerProductSpace
2.  e  :  Point
3.  f  :  \{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
4.  e\^{}2  =  r1
5.  \mforall{}h1,h2:\{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  \mforall{}t1,t2:\mBbbR{}.    (f  h1  t1  \mneq{}  f  h2  t2  {}\mRightarrow{}  (h1  \#  h2  \mvee{}  t1  \mneq{}  t2))
6.  \mforall{}h:\{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  ((f  h  r0)  =  r0)
7.  \mforall{}h:\{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  \mforall{}t1,t2:\mBbbR{}.    ((t1  <  t2)  {}\mRightarrow{}  ((f  h  t1)  <  (f  h  t2)))
8.  \mforall{}h:\{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  \mforall{}r:\mBbbR{}.    \mexists{}t:\mBbbR{}.  ((f  h  t)  =  r)
9.  \mforall{}h1,h2:\{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  \mforall{}t1,t2:\mBbbR{}.    (h1  \mequiv{}  h2  {}\mRightarrow{}  (t1  =  t2)  {}\mRightarrow{}  ((f  h1  t1)  =  (f  h2  t2)))
10.  \mforall{}g:h:\{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}    {}\mrightarrow{}  r:\mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
            ((\mforall{}h:\{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  \mforall{}r:\mBbbR{}.    ((f  h  (g  h  r))  =  r))
            {}\mRightarrow{}  ((\mforall{}h1,h2:\{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  \mforall{}t1,t2:\mBbbR{}.    (g  h1  t1  \mneq{}  g  h2  t2  {}\mRightarrow{}  (h1  \#  h2  \mvee{}  t1  \mneq{}  t2)))
                  \mwedge{}  (\mforall{}h1,h2:\{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  \mforall{}t1,t2:\mBbbR{}.
                            (h1  \mequiv{}  h2  {}\mRightarrow{}  (t1  =  t2)  {}\mRightarrow{}  ((g  h1  t1)  =  (g  h2  t2))))))
\mvdash{}  \mexists{}g:h:\{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}    {}\mrightarrow{}  r:\mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}.  \mforall{}h:\{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  \mforall{}r:\mBbbR{}.    ((f  h  (g  h  r))  =  r)


By

---

Latex:
(Skolemize  (-3)  `g'    THEN  Auto)

---

Home Index