---

Step * 2 of Lemma kernel-fun-properties


1. rv : InnerProductSpace
2. e : Point
3. f : {h:Point| h ⋅ e = r0}  ⟶ ℝ ⟶ ℝ
4. e^2 = r1
5. ∀h1,h2:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (f h1 t1 ≠ f h2 t2 ⇒ (h1 # h2 ∨ t1 ≠ t2))
6. ∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ((f h r0) = r0)
7. ∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  ((t1 < t2) ⇒ ((f h t1) < (f h t2)))
8. ∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀r:ℝ.  ∃t:ℝ. ((f h t) = r)
9. ∀h1,h2:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (h1 ≡ h2 ⇒ (t1 = t2) ⇒ ((f h1 t1) = (f h2 t2)))
10. g : h:{h:Point| h ⋅ e = r0}  ⟶ r:ℝ ⟶ ℝ
11. ∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀r:ℝ.  ((f h (g h r)) = r)
12. h1 : {h:Point| h ⋅ e = r0} 
13. h2 : {h:Point| h ⋅ e = r0} 
14. t1 : ℝ
15. t2 : ℝ
16. g h1 t1 ≠ g h2 t2
⊢ h1 # h2 ∨ t1 ≠ t2
BY
{ (D -1
   THEN (InstHyp [⌜h1⌝] 7⋅ THENA Auto)
   THEN (FHyp (-1) [-2] THENA Auto)
   THEN (RWO "11" (-1) THENA Auto)
   THEN InstLemma `rless-cases` []
   THEN RW (AddrC [2;2;2] (FoldTopC `guard`)) (-1)
   THEN (FHyp (-1) [-2] THENA Auto)
   THEN (InstHyp [⌜t2⌝] (-1)⋅ THENA Auto)
   THEN D -1
   THEN Try ((Assert ⌜t1 ≠ t2⌝⋅ THEN Complete (Auto)))
   THEN (OrLeft THENA Auto)
   THEN (Assert f h1 (g h2 t2) ≠ f h2 (g h2 t2) BY
               (RWO "11" 0 THEN Auto))
   THEN (FHyp 5 [-1] THENA Auto)
   THEN D -1
   THEN Auto
   THEN FLemma `rneq_irreflexivity` [-1]
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  rv  :  InnerProductSpace
2.  e  :  Point
3.  f  :  \{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
4.  e\^{}2  =  r1
5.  \mforall{}h1,h2:\{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  \mforall{}t1,t2:\mBbbR{}.    (f  h1  t1  \mneq{}  f  h2  t2  {}\mRightarrow{}  (h1  \#  h2  \mvee{}  t1  \mneq{}  t2))
6.  \mforall{}h:\{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  ((f  h  r0)  =  r0)
7.  \mforall{}h:\{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  \mforall{}t1,t2:\mBbbR{}.    ((t1  <  t2)  {}\mRightarrow{}  ((f  h  t1)  <  (f  h  t2)))
8.  \mforall{}h:\{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  \mforall{}r:\mBbbR{}.    \mexists{}t:\mBbbR{}.  ((f  h  t)  =  r)
9.  \mforall{}h1,h2:\{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  \mforall{}t1,t2:\mBbbR{}.    (h1  \mequiv{}  h2  {}\mRightarrow{}  (t1  =  t2)  {}\mRightarrow{}  ((f  h1  t1)  =  (f  h2  t2)))
10.  g  :  h:\{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}    {}\mrightarrow{}  r:\mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
11.  \mforall{}h:\{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  \mforall{}r:\mBbbR{}.    ((f  h  (g  h  r))  =  r)
12.  h1  :  \{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\} 
13.  h2  :  \{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\} 
14.  t1  :  \mBbbR{}
15.  t2  :  \mBbbR{}
16.  g  h1  t1  \mneq{}  g  h2  t2
\mvdash{}  h1  \#  h2  \mvee{}  t1  \mneq{}  t2


By

---

Latex:
(D  -1
  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}h1\mkleeneclose{}]  7\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (FHyp  (-1)  [-2]  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "11"  (-1)  THENA  Auto)
  THEN  InstLemma  `rless-cases`  []
  THEN  RW  (AddrC  [2;2;2]  (FoldTopC  `guard`))  (-1)
  THEN  (FHyp  (-1)  [-2]  THENA  Auto)
  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}t2\mkleeneclose{}]  (-1)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  D  -1
  THEN  Try  ((Assert  \mkleeneopen{}t1  \mneq{}  t2\mkleeneclose{}\mcdot{}  THEN  Complete  (Auto)))
  THEN  (OrLeft  THENA  Auto)
  THEN  (Assert  f  h1  (g  h2  t2)  \mneq{}  f  h2  (g  h2  t2)  BY
                          (RWO  "11"  0  THEN  Auto))
  THEN  (FHyp  5  [-1]  THENA  Auto)
  THEN  D  -1
  THEN  Auto
  THEN  FLemma  `rneq\_irreflexivity`  [-1]
  THEN  Auto)

---

Home Index